简述数学建模的过程篇1

关键词：关系；数学关系；关系思维

简单地讲，关系就是描述在事物之间用什么来联系、这种联系怎么样来表述、如何处理的学科。我们在学习和解决数学问题的时候，其实也是在探讨关系的问题，数学中的思维，其实是一种关系的思维。很多学生在学习数学过程中总是感觉到问题无法入手，没办法解决，这里边反映出的问题实际是学生的思维定式的问题。学生在整个数学学习过程中，每次思维定势的重大突破，都伴随着一个阶段的求异思维训练。改变过去习惯了的思维模式，对学生而言有时是很难接受的，甚至是痛苦的。实质上，数学的思维是一种关系的思维。

在教学活动中，教师经常会遇到提问后冷场的场景，这种情况的出现有多重原因，主要原因是学生没有建立起来一种思维模式。思维模式的建立可以使许多问题的解决方式变得程式化，并且很容易找到问题的突破口。数学里有这样的一种思维模式，我们称为关系的思维模式，关系思维模式一旦建立，很容易找到数学问题的突破口，数学将向你打开一个新的窗口。下面笔者用一些具体的例子，从浅入深来说明这种关系思维模式。

先看这样的例子：八年级某班组织春游活动，租车费用300元由参加者平摊。后来参加的人数增加了一倍，但租车费用不变，这样每人少交了10元。请问这次活动共有多少人参加？

在这样的题目中，关键的问题是找出题目中体现的关系。数学关系简单的讲无非是等于和不等于两大关系。我们就在这个问题的叙述中寻找，可以很清楚看出这里出现了这样一句话“租车费用不变”。仔细琢磨一下，其实可以列出这样一个关系：人数变化前的租车费用=人数变化后的租车费用，将这个关系一步一步地数学化来看看问题的变化：

1.将“人数变化前的租车费用=人数变化后的租车费用”这个等式进行变化得到：人数x每人交的费用=2x人数x（每人交的费用-10）.

2.假设人数为x，每人交的费用为y，则上述的公式变化为x×y=2x×（y-10）（1）.

3.在仔细看看题目发现还存在一个关系，那就是人数变化前的租车费用=300，变化为数学关系为x×y=300（2）.

4.将（1）和（2）两个式子综合就可以求解了。

下面我们再看一个高等数学的例子：求解∫xsinxdx.这是一个比较典型的积分问题，我们利用关系思维的模式来解决这个问题。首先，我们看到这是一个积分题目，联想和积分计算相关的关系，发现积分的计算共学习了两种常见求解方法，一种是换元积分法，一种是分部积分。仔细分析一下发现，这是一个乘积的积分式子，联想关系，发现可以利用分部积分的办法进行关系模式的思维。

1.分部积分的公式：∫uvdv=uv-∫vdu

2.将这个题目的具体实例代入：∫xsinxdx=-∫xdcosx

3.进行计算化简：

∫xsinxdx=-∫xdcosx=-（xcosx-∫cosxdx）=-xcosx+sinx+C

从上边的例题中可以看出，解决问题的关键是找出数学关系。为了降低思维的难度，这种关系的描述一开始可以是中文的习惯思维的描述，然后再一步步将这种关系抽象成为数学符号的描述，最后进行求解。

关系的思维模式可以在很多数学问题的探讨当中使用，这种思维的模式可以使问题的分析变得简单，我们可在复杂的问题叙述中抓住关系这个关键点，很快找到问题的突破口，建立起来数学关系。

参考文献：

简述数学建模的过程篇2

【关键词】Web服务 Petri网 形式化描述 实时服务 服务描述

1 引言

面向服务计算是实现跨平台、跨语言和松藕合的最新分布式计算技术，Web服务则是面向服务计算至今最好实现技术。目前用Petri网来进行Web服务描述及组合的研究很多，文献[1]利用模糊Petri网作为服务描述语言的基础，并基于模糊Petri网和本体给出了一个网格服务发现的多Agent框架，使用可能性和必然性来表示对一个服务Agent能为需求Agent提供相关服务的信心程度；文献[2]基于Petri网构建了服务组合网C-Net来分析多个Web服务之间的交互，把服务行为相容性问题分析转化为对C-net的结构死锁问题分析，Web服务能相容等价于在C-net图中存在非空最小Siphons。但这些基于Petri网的Web服务描述研究都没有考虑Web服务的实时性与智能性因素，不适合用于分布式实时系统中的服务描述，为此我们运用层次实时有色Petri网来构建实时服务的形式化描述模型，并采用OWL-S来表示共享领域知识来保证服务的智能性。

2 层次实时有色Petri网

层次实时有色Petri网是由含时间因素的Petri网[3]与有色Petri网[4]结合发展而来，在文献[5]中\用了层次实时有色Petri网对嵌入式实时硬件电路设计进行建模与分析，并对应用在这种应用情况下的层次实时有色Petri网进行了定义。为了能更适合描述分布式实时系统中的实时服务软件设计建模与分析，根据文献[5]中定义的层次实时有色Petri网，我们重新定义了层次实时有色Petri网。

定义1：实时有色Petri网（Real-Time Coloured Petri Net，RTCPN）是一个1 3元组：RTCPN=（Ω，P，T，A，N，C，G，E，DI，DT，TS，I）。其中，Ω为是颜色的非空集合（colour set）；P为库所的非空集合（places）；T为变迁的非空集合（transitions）；A为有向弧的集合（arcs），并且满足表达式P∩T=P∩A=T∩A=φ；N为节点，有N：AP×T∪T×P；C为颜色函数，定义为C：P∪TΩ，对于p∈P，C（p）是库所p上所有可能的托肯色之集合，对于t∈T，C（t）是变迁t上所有可能的出现色之集合；G是变迁的警卫函数，指定变迁触发必须满足的前提条件，定义为G：Texpr（expr即表达式），有t∈T：[Type（G（t））=B∧Type（Var（G（T）））Ω]，其中B是布尔型函数，Var（.）表示变量，Type（.）表示类型（Type）；E为弧表达式函数，有E：Aexpr.，有x∈A：[Type（E（a））=C（P）MS∧Type（Var（E（a）））Ω]，其中P是N（a）的库所集元素，下标MS为多重集函数；DI为关联变迁的实数对[tmin，tmax]的集合，tmin表示变迁最早触发时间，tmax表示变迁最晚触发时间；DT网中每个变迁执行的持续时间，当持续时间为0时，称之为瞬时变迁，不为0时称之为时延变迁；TS （Time Stamp）为托肯的时间戳集合，对于t∈T，TS（t）包含了托肯到达库所p的时间信息，托肯的时间戳信息可以通过计算表达式：TS（p）=max{TS（p’）+ D（p’）+DT（p’）|p’∈p}得出，其中D为变迁触发的延时函数；I是初始化函数，定义为从P到一个封闭表达式I（p），满足p∈P：[Type（I（p））=C（P）MS] 。

定义2：层次实时有色Petri网（Hierarchical Real-Time Coloured Petri Net，HRTCPN）是一个1 4元组HRTCPN=（Ω，P，T，A，N，C，G，E， DI，DT，TS，I，S）。其中，Ω、P、T、A、N、C、G、E、DI、DT、TS、I表示的含义与实时有色Petri网RTCPN中对应元组的含义一样；S是由子层次实时有色Petri网（Sub―HRTCPN）和实时有色Petri网（RTCPN）构成的集合，S={HRTCPN} U{RTCPN}。

3 HRTCPN实时服务描述模型

目前We b服务语义描述领域最成熟的语言是OWL-S，在构建实时服务描述模型时，我们以OWL-S对Web服务语义描述元素为基础来进行构建。OWL-S把每个服务看成是一个过程，并且将服务过程分为原子过程、简单过程及复合过程。从服务请求者角度来看，原子过程与简单过程都是一步就可以完成，我们在此称这两者为原子服务；复合过程是由其它的原子或复合过程通过一些控制构造算子来组合而成[8]，我们称其为组合服务。故在构建实时服务的描述模型时要分两个方面进行描述模型设计，即原子服务描述模型及组合服务描述模型。原子服务描述我们用一个定义1所定义的实时有色Petri网来实现，而对组合服务描述我们用定义2中所定义的层次实时有色Petri网来表达。

3.1 原子实时服务到RTCPN映射描述模型（AS-RTCPN）

原子服务可直接调用，其内部执行过程对服务请求者不可见，故我们可以将原子服务描述为有一个输入库所（Pin）经过一个服务变迁（ts）处理产生结果到一个输出库所（Pout）及一个知识库所的实时有色Petri网结构。原子服务到RTCPN的映射规则：

（1）将原子服务as的执行过程映射为一个服务变迁ts，并将ts命名为原子服务的名称，则T={service}；

（2）原子服务的输入状态被映射为包含token的输入库所Pin；

（3）原子服盏氖淙肭爸锰跫被映射成服务变迁中的警卫函数G；

（4）原子服务的输出状态和执行效果映射为包含token的输出库所Pout；

（5）颜色集Ω=ps∪qs，ps表示原子服务的参数集，qs表示服务用户的QoS需求集[37]；

（6）OWS-L描述的有关原子服务的知识库映射为知识库所Pk，知识库内容主要包含原子服务的质量属性、时间属性及执行规则等静态语义信息；

（7）用户的QoS需求满足判定映射为有向边输入函数E，服务变迁执行完成后对服务状态产生的影响映射为有向边输出果函数E；

（8）根据原子服务时间属性，对服务变迁触发时延DI及服务变迁执行持续时间DT赋值；

（9）通过初始化函数I（p）对输入库所Pin进行初始化。

定义3：原子实时服务的实时有色Petri网模型是一个11元组AS-RTCPN=（Ω，P，T，F，C，G，E，DI，DT，TS，M0），其中：

Ω= ps∪qs，ps表示原子服务的参数集，qs表示服务用户的QoS需求集；

P={Pin， Pout， Pk}，Pin表示原子服务的输入，Pout表示原子服务的输出，Pk表示原子服务的知识库；

T={ts}，ts表示原子服务的执行；

F={（Pin， ts），（ts， Pout），（Pk， ts），（ts，Pk）}；

C={C（Pin），C（Pout），C（Pk）}；G=G（ts）；

E={E（Pin， ts），E ts， Pout），E（Pk， ts），E（ts， Pk）}；

DI=DI（ts），表示原子服务的触发时间区间；DT=DT（ts），表示原子服务执行持续时间；

TS=TS（Pin），颜色Token到达输入库所Pin的时间戳；

M0（Pin）=C（Pin），M0（Pout）=0， M0（Pk）=C（Pk）；

AS-RTCPN模型结构图如图1所示。

3.2 组合实时服务HRTCPN映射描述模型（CS-HRTCPN）

组合过程用于表示具有复杂业务逻辑的服务，通常由原子服务或其他组合服务通过控制构造算子组装而成，这就形成了组合服务的层次结构。在构建基于HRTCPN的组合实时服务描述模型时，我们需要对组合服务模型中的变迁进行分类，用于表示被调用服务的变迁称为服务变迁，用于把服务组织成组合服务的变迁称为控制变迁。为了便于组合服务的实时性分析，我们假设所有控制变迁均为瞬时变迁。通过对OWL-S服务组合规范中的控制构造算子研究分析，根据表达语义的不同，可将它们归为六类服务组合运算：顺序组合运算、任意次序组合运算、选择组合运算、条件组合运算、并行组合运算及迭代组合运算。下面给出实时服务迭代组合服务用HRTCPN描述的模型结构与转换规则。

根据OWL-S规范，实际用来进行迭代运算控制的结构包括Repeate-While及Repeate-Until。其中，它们分别通过属性whileCondition和untilCondition指定执行的初始、结束和维持条件，实时服务迭代组合运算符记为α。图2（a）所示为实时服务RTS1的Repeat-Until组合运算模型结构，可以表示为αRTS1。图中变迁分为两种类型，其中方框中标有ts的变迁表示服务变迁；方框中标有tc的变迁表示控制变迁，用于执行组合运算；为了清晰展示模型结构，模型结构图中省略了时间、弧表达式、警戒函数等标识，以下类同。在执行过程中，服务变迁ts1将产生一个判断条件，根据该条件值可决定是否终止循环过程。Repeat-While的语义与此类似，区别在于控制变迁tc2和tc3的警戒函数相反。迭代组合规则为：?=?1， P= Pin∪P1∪Pout，T=T1∪{tc1， tc2， tc3 }， F=F1∪{（Pin， tc1）， （tc1， Pin1）， （tc2， Pin1）， （Pout1， tc2）， （Pout1， tc3）， （tc3， Pout） }， C=C1， E=E1∪{E（Pin， tc1）， E（tc1， Pin1）， E（tc2， Pin1）， E（Pout1， tc2）， E（Pout1， tc3），E（tc3， Pout） }， G=G1∪{G（tc1）， G（tc2）， ， G（tc3）}， DI12=DI1∪{DI（tc1）=0， DI（tc2）=0， DI（tc3）=0}， DT=DT1，TS=TS1， M0=M01∪{M0（Pin）， M0 （Pout）}。

3.3 HRTCPN实时服务描述模型有效性分析

文献[7]针对Web服务的动态时间有色Petri网（DTCPN）模型给出简化算法，但只给出了顺序、条件、并行及迭代等4种服务组合模型的简化方法，没有给出选择组合及任意次序组合模型的简化方法，而且没有考虑变迁的可触发时间区间。根据本文中给出的定义2、定义3及各种服务组合规则，参考文献[7]中的简化算法，我们设计了服务组合HRTCPN描述模型的简化算法。

算法1 服务组合HRTCPN描述模型的简化算法

输入：HRTCPN

输出：简化后的HRTCPN

（1）实时服务迭代组合HRTCPN模型简化规则：?=?1， P={Pk1， Pin， Pout}，T={ts1}， F={（Pin， ts1），（ts1， Pout）， （ts1， Pk1）， （Pk1，ts1）}， C（Pin）=C（Pin）， C（Pout）=C（Pout）， C（Pk12）=C（Pk1）+C（Pk2）， E（Pin， ts1）=E（Pin，tc1）， E（Pk1， ts1）= E（Pk1， ts1）， E（ts1，Pout）= E（tc2，Pout）， G（ts1）=G（ts1）， DI（ts1）= DI（ts1）， DT（ts1）=αDT（ts1）， TS（Pin）=TS（Pin）， TS（Pout）=TS（Pout）， M0=（C（Pin）， C（Pk1），0）。简化后的HRTCPN模型结构如图2（b）所示。

（2）实时服务顺序组合HRTCPN模型简化规则：?=?12， P={Pk12， Pin12， Pout12}，T={ts12}，F={（Pin12，ts12），（ts12，Pout2）}，C（Pin12）=C（Pin1）+C（Pin2）， C（Pout12）=C（Pout1）+C（Pout2）， C（Pk12）=C（Pk1）+C（Pk2）， E（Pin12， ts12）= E（Pin1， ts1）+ E（Pin2， ts2）， E（Pk12， ts12）=E（Pk1，ts1）+ E（Pk2，ts2）， E（ts12，Pout12）=E（ts1，Pout1）+ E（ts2，Pout2）， G（ts12）=G（ts1）∧G（ts2）， DI（ts12）=[tmin1，tmax1+ tmax2-tmin2]， DT（ts12）=DT（ts1）+DT（ts2）， TS（Pin12）=TS（Pin1）， TS（Pout12）=TS（Pout1）， M0=（C（Pin1）+C（Pin2）， C（Pk1）+C（Pk2），0）。化后的HRTCPN模型结构如图3（b）所示。

理论上通过算法1可以将一个复杂的服务组合描述HRTCPN模型简化为一个与原子服务描述RTCPN模型结构相似的简化模型，但这样简化后的模型太抽象，不利于对原服务系统的理解与分析，所以在实际应用此算法简化HRTCPN模型时，我们规定组合简化层级不能超过3层。

对组合服务HRTCPN模型简化之后，我们就可以针对简化模型构建可达服务图（RSG）。文献[8]针对网格服务的有色动态时延Petri网（CDTPN）构建了RSG，在此文献基础之上我们给出针对HRTCPN的可达服务图RSG的定义及构建算法。

定义4 HRTCPN的可达服务图RSG是一个带标识结点与带标识有向边的有向图，且RSG（HRTCPN）=（V，E，FT，FM）。其中，V={R（M0）；E={（Mi，Mj）|Mi，Mj∈R（M0）}，tk∈T：Mi[tk>Mj；FT（Mi，Mj）=tk/tsk：[tmin，tmax]，tsk表示颜色Token到达库所tk的时间戳，[tmin，tmax]是变迁tk的可能触发时间区间；FM（Mj）=OP，OP表示服务变迁执行输出结果值。

根据可达服务图RSG的定义，我们可以设计出构建RSG的算法。

算法2 HRTCPN的可达服务图构建

输入：简化后的HRTCPN

输出：RSG（HRTCPN）

（1）令V={M0}，E={φ}，并给结点M0标记”new”标签；

（2）如果V中不存在标记为”new”的结点，则算法结束，否则转到步骤（3）；

（3）在V中任选一个有”new”标记的结点，设为M，再做如下处理：

（3.1）if t∈T：M[t> Then把M的标记改为”end node”；

（3.2）For 每个满足M[t>的t∈T Do

（3.2.1）计算M[t>M’中的M’；

（3.2.2）If M’V，then V=V+{M’}，同时给M’标记”new”标签；

（3.3.3）E=E+（M，M’），并给边（M，M’）标注tk/tsk：[tmin，tmax]，tsk表示颜色Token到达库所tk的时间戳，[tmin，tmax]是变迁tk的可能触发时间区间；

（3.3.4）If tk=sk，then 给结点M’标注服务变迁执行时间及执行输出结果；

（3.3.5）否则给结点M’标注”[0，0]”或不标注任何标签；

（3.3）移除结点M的”new”标签，并返回到步骤（1）。

算法2与文献[3]中的可覆盖性树构造算法原理相同，故对任何组合服务HRTCPN描述模型，算法2都是可以终止的。同时，根据HRTCPN与RSG的定义，以及服务都是按照一定的业务逻辑规则进行组合的，故很容易证明算法2是正确的，在此证明从略。

命题1[3] HRTCPN是有界的当且仅当RSG（HRTCPN）中，每个结点的标识向量中都不含有无限分量（ω）。

命题2 [8] HRTCPN是组合服务的层次结构实时有色Petri网描述模型，则HRTCPN是无死锁的当且仅当M∈RSG（M0），M（Pout）≠0，p≠Pout∈P，M（p）=0。

命题3 HRTCPN无死锁、RSG（M0）是RSG（HRTCPN）的顶点集，则组合服务系统的总执行时间ET=max{∑（di+dti）}，其中∑（di+dti）是Mi的标识和，Mi是从M0到终端结点M路径上的结点，且M0，Mi，M∈RSG（M0），di是服务变迁ti的触发实际延迟时间，dti是服务变迁ti的执行时间。

根据命题1、RTCPN的定义及服务组合规则，HRTCPN模型是有界的Petri网。同时根据RSG（HRTCPN）的构造算法及命题2可知，HRTCPN模型是无死锁的Petri网。

定义5 当且仅当HRTCPN模型是有界的与无死锁的，用HRTCPN模型描述的面向服务应用系统是可靠的。

4 结束语

Petri网非常适合描述服务的动态语议，目前用Petri网来进行Web服务描述及组合的研究很多，但这些基于Petri网的Web服务描述研究都没有考虑Web服务的实时性与智能性因素，不适合用于分布式实时系统中的服务描述与组合建模。本文提出的层次实时有色Petri网能很好地对实时服务进行形式化描述模型，采用OWL-S表示共享领域知识来保证服务的智能性，并构建了模型的简化算法及证明了。未来工作将构建本文提出实时服务模型在一些典型实时系统中的原型应用，进一步优化模型的组合算法，更好地满足实时性与可信性要求。

参考文献

[1]翟正利，杨杨.基于模糊Petri网和本体的网格服务发现[J].北京科技大学学报，2006，12（28）：p1196-1201.

[2]PengCheng Xiong，YuShun and MenChu Zhou.A Petri Net Approach to Analysis and Composition of Web Services[J].IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS，MAN，AND CYBERNETICS―PART A：SYSTEMS AND HUMANS，VOL.40，NO.2，MARCH201：p376-387.

[3]钦芑灾.Petri网导论[M].机械工业出版社，2006：p215-220.

[4]袁崇义著.Petri网原理与应用[M].电子工业出版社，2005：p95-103.

[5]刘铭，张国印等.基于层次实时有色Petri网的实时系统建模与分析方法研究[J].电子与信息学报，2011，3（33）：p580-586.

[6]王璞巍，金芝.Web服务语义描述研究综述[J].南京大学学报（自然科学），2005，10（41）：p462-469.

[7]Yaojun Han，Xuemei position and Reduction of Web Service Based on Dynamic Timed Colored Petri Nets[C]//2009 IEEE International Symposium on Parallel and Distributed Processing with Applications.p659-663.

[8]Yaojun Han，Changjun Jiang and Xuemei Luo.Modeling and Analysis for Grid Service Cooperative Scheduling Based on Petri Nets[C]//Cooperative Design， Visualization，and Engineering Lecture Notes in Computer Science Volume 4674，2007：p104-112.

作者简介

卓国锋（1974-），男，江西省鄱阳县人。硕士学位。讲师，研究方向为件技术、信息安全。

作者单位

简述数学建模的过程篇3

关键词：模型　种类　重建　转换

实行新课标之后，在全国高考生物科考试大纲考试内容部分考核目标与要求中，关于实验与探究能力有如下要求：具有对一些生物学问题进行初步探究的能力，包括运用观察、实验与调查、假说演绎、建立模型与系统分析等科学研究方法。其中建立模型是新课标探究教学中的一个难点。

下面就模型的种类、构建和转换特点进行具体的分析。

一、模型的概念和种类

必修1教材对模型的定义是：“模型是人们为了某种特定目的而对认识对象所做的一种简化的描述，这种描述可以是定性的，也可以是定量的；有的借助于具体的实物或其他形象化的手段，有的则通过抽象的形式来表达。”《美国国家科学教育标准》中的表述是：模型是与真实物体、单一事件或一类事物对应的而且具有解释力的试探性体系或结构。关于模型的形式或种类，不同论著中的说法有所相同。

下面这道试题就是要求学生判断模型种类的：

模型是人们为了某种特定目的而对认识对象所作的一种简化的概括性的描述。模型的形式有多种，下列各项中正确的是______。

A、沃森和克里克的DNA双螺旋结构模型属于物理模型

B、种群增长模型属于生物模型

C、血糖调节模型属于化学模型

D、生物膜的流动镶嵌模型属于概念模型

（参考答案与解析：种群增长模型属于数学模型，血糖调节模型属于动态物理模型，生物膜的流动镶嵌模型属于物理模型；选A。）

二、模型的重建

在课本上我们可以看到许多模型构建的具体实例，通过具体的构建体验，可以加深对模型特点的认识，理解模型在反映事物或过程方面的简化和直观性。在原有模型的基础上，为了进一步加深或拓展对重点问题的认识，可以适当进行典型模型的进一步分析和重建，以提高学生对相关模型的认知能力。

下面是两个典型的例子：下图中，如果横坐标改变，则曲线的变化趋势最大的是______。

转贴于

A、①将横坐标的“光照强度”改为“CO2浓度”

B、②将横坐标的“温度”改为“O2浓度”

C、③将横坐标的“有丝分裂”改为“减数分裂第二次分裂”

D、④将横坐标的“血糖浓度”改为“内环境温度”

不难看出，本题的命题意图就是要通过数学模型的重新构建来考察学生对相关内容的掌握情况。

三、模型间的转换

利用模型间的转换来考察学生对相关生物学问题的认识水平，也越来越频繁地出现在高考试题中。例如：下图表示用3H—亮氨酸标记细胞内的分泌蛋白，追踪不同时间具有放射性的分泌蛋白颗粒在细胞内的分布情况和运输过程。其中正确的是_____。

显然，该题是将课本上的相关物理模型（见必修1第48页资料分析：豚鼠胰腺腺泡细胞分泌物形成过程图解）转换成了数学模型，考察学生的模型转换能力。

简述数学建模的过程篇4

关键词：系统分析；系统设计；符号语言；机构简图；概念模型

中图分类号：TP391.72 文献标识码：A 文章编号：1007-9599 （2013） 02-0000-02

机构简图及其组成要素是《机械原理》和《机械设计基础》课程的重要内容，是构思机械系统设计方案的重要符号语言。用符号语言在科学设计方案是一种科学抽象，认识符号语言在科学抽象中的作用，掌握工程设计中的科学抽象方法，对于培养学生抽象思维能力至关重要。

人类历史上曾有过因对符号的作用认识不够，而影响科学技术发展的例子。例如，牛顿和莱布尼兹同时创立了微积分，并各自提出了进行抽象数学思维和推演的微分符号和积分符号。当时英国人没有认真考虑莱布尼兹微积分符号的科学性，而盲目的采用了牛顿提出的微积分符号，这一选择严重阻碍了当时英伦三岛数学研究的发展，因此最终英国人不得不放弃牛顿提出的微积分符号而采用莱布尼兹提出的微分符号和积分符号。如今人们普遍采用莱布尼兹和拉格朗日提出的微分和积分符号，而忘却了牛顿所提出的微分符号和积分符号。一代科学巨人所提出的微积分符号被否认的历史，是说明科学符号重要性的最有力例子。

1 工程设计的概念的任务

工程设计师用模型来描述目标系统的活动。

对于设计来说，设计师们为了能制造某种新东西，事先会为它创造一种模式，模型或概念结构的动作，由人类社会需求提出的，以满足人类社会需求为宗旨这就是工程设计的任务。因为工程设计首先是运用科学抽象的成果---概念，符号和概念模型所进行的认知活动（认识需求，描述需求，最终根据需求完成设计）。所以工程设计的所有活动就是根据人类社会需求建立目标系统模型，评价模型，修改并完善模型的过程。采用概念模型认识问题，描述问题，是主体把握客体本质的认知活动和认知过程。

2 科学符号在工程设计中的作用

科学符号是建模的工具。

2.1 反映设计方案的概念模型必须借助物质性的，可感知的符号来描述

科学思维必须通过概念等基本的思维形式进行，但概念是一种无定型的精神性的东西，它是要借助物质性的，可感知的符号来描述。借助这些符号，工程设计中思维运动的飞跃才能实现，构思才能变成概念设计，抽象的规定到思维的具体的转变才能得以实现。设计师们在工程设计的不同的阶段，分别采用了不同抽象级别的符号语言来描述系统的模型，这样就得到了机械工程中所使用的机构运动简图，零件图，总成图和装配图这些不同抽象级别的模型，以及在这些模型生成过程中所使用的数学，力学模型。

2.2 “机构简图”是一种反应极其本质属性的概念模型。极其设计需要满足的要求有许多，但首先必须满足的要求有两点：所设计的机器要能实现预定的运动，完成帮人做事甚至替人做事的功能的实现。这两条满足了，才谈得上满足其他需求，这两大需求反映了极其的两大基本属性。那么，怎样通过设计来实现这两条最基本需求呢？由于机械系统综合分析的需要，机构学抽象出了构件，运动副和机构等概念，由运动副将构件连接成机构，由一个或若干构件组成机器，机构学用机构简图来描述这种由若干个构件通过运动副连接而成的物系作为机器的概念模型。利用机构简图这种概念模型，可以清晰地描述机器的组成及各组成部分之间的相互关系，确定各构件之间的相对运动，检验预定运动的实现，并可直接借助它建立数学，力学模型，对机器进行运动，动力分析，求解各构件上所受的力。所有这些，为零件盒构件材料的选择，为零件，构件结构尺寸的设计和承载能力的校核奠定了基础。

3 机械系统的建模过程

为了反映机械设计过程的建模本质，本文按系统分析和系统设计来划分机械设计阶段，软件工程就是这样划分的。

3.1 系统分析阶段。它包括传统划分方法中需求分析、方案设计两个阶段，所用到的描述工具都是机构简图符号。工作目标是获得机器系统的概念模型，具体如下：（1）构思满足用户需求的、可能的设计方案，这个工作在机构学中称为机构综合；（2）对所有可能的设计方案按需求进行可行性分析，最终得到一个最优的设计方案；（3）可借助机构简图建立数学，力学模型对机械系统进行运动、动力分析、得到机器最终的概念模型。

3.2 系统设计阶段。这一阶段包括机器零件工作能力设计，部件装配草图及总装配草图设计以及主要零件校核几个阶段。简单地认为，系统设计就是将概念模型转换成具有物理性能和几何结构尺寸的模型，也就是将机器简图转化为可用于加工制作的机械施工图的过程，将抽象的概念变成具体的可操作的过程。

机器系统分析和系统设计各阶段是一个连续的设计、评价、再设计过程。所以在这二个方面一定要保证问题空间与解空间描叙方法的一致性，要不违反了机械设计过程的建模本质，违反了软件工程设计思想设计理念。

4 机构简图适应了“设计-评价-再设计”规律，满足了设计各阶段模型转换的需求

在设计活动中，认识需求分析，构思设计方案，并最终能形成一个可行性产品是一个循序渐进的过程，这个过程它遵循‘设计-评价-再设计’的规律。系统分析阶段主要是形成用概念模型所描叙的机器方案 ，这各个阶段虽然经过了仔细的、科学的论证，但是仍然难以保证在后续的系统设计中会出现与未曾预料到的约束条件发生冲突，这就需要对原先的设计方案进行修改，进行优化最终得到一个可行的优化的设计方案。为此，这就需要保证系统分析与系统设计描述方法的一致性。

“机构简图”这种概念模型，它不仅很容易生成可用于加工制作的机械模型，而且当发现这些模型难以满足某些需求指标时，又能方便地从这些模型退回到用简单符号所描述的概念模型进行方案的再设计。这与软件工程所用的自顶向下设计的数据流图理念不一样，因为用数据流图来描述系统概念模型的方法与软件设计时所采用的层次模型方法不一致，所以软件工程要淘汰用数据流图进行系统分析。

5 结束语

在思维运动中对同类事物淘汰其现象的、次要的方面，抽取其共同的、主要的方面，从而做到从个别中把握一般，从现象中把握本质的认知过程和思维方法叫做科学的抽象。“机构简图”它就是经过工程和科学用几百年的时间逐步发展起来的符号语言，借助这些符号，工程设计中思维运动的飞跃才得以实现， 构思才能变成概念设计的方案。科学的抽象过程充满了飞跃，在这一过程中它除了要运用逻辑思维之外，还特别需要形象思维，直觉思维的积极参与；既需要“思维的自由创造”也需要直觉对经验总体的“共鸣”。因此，从分析建模与设计建模的高度来看待机构简图，从抽象思维的层次方面出发，按系统分析和系统设计的秩序组织机械设计学的教学，对于培养学生的创造性思维至关重要。

参考文献：

[1]国家教委社会科学研究与艺术教育司，自然辩证法概论[M].高等教育车版设，1991.

简述数学建模的过程篇5

1. 评定参赛队的成绩好坏、高低，获奖级别，

数模答卷，是唯一依据。

2. 答卷是竞赛活动的成绩结晶的书面形式。

3. 写好答卷的训练，是科技写作的一种基本训练。

二、答卷的基本内容，需要重视的问题

1. 评阅原则：假设的合理性，

建模的创造性，

结果的合理性，

表述的清晰程度。

2. 答卷的文章结构

a. 摘要

b. 问题的叙述，问题的分析，背景的分析等，略

c. 模型的假设，符号说明（表）

d. 模型的建立（问题分析，公式推导，基本模型，最终或简化模型 等）

3． 模型的求解

计算方法设计或选择；算法设计或选择， 算法思想依据，步骤及实现，计算框图；所采用的软件名称；

引用或建立必要的命题和定理；

求解方案及流程

4．结果表示、分析与检验，误差分析，模型检验……

5．模型评价，特点，优缺点，改进方法，推广…….

6．

7．附录

计算框图

详细图表

8. 要重视的问题

摘要，包括：

a. 模型的数学归类（在数学上属于什么类型）

b. 建模的思想（思路）

c . 算法思想（求解思路）

d. 建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验…….）

e. 主要结果（数值结果，结论）（回答题目所问的全部“问题”）

表述：准确、简明、条理清晰、合乎语法、字体工整漂亮；打印最好，但要求符合文章格式。务必认真校对。

1．问题重述。略

2．模型假设

跟据全国组委会确定的评阅原则，基本假设的合理性很重要。

（1）根据题目中条件作出假设

（2）根据题目中要求作出假设

关键性假设不能缺；假设要切合题意

3．模型的建立

A. 基本模型：

a. 首先要有数学模型：数学公式、方案等

b.基本模型，要求 完整，正确，简明

B. 简化模型

a. 要明确说明：简化思想，依据

b. 简化后模型，尽可能完整给出

C. 模型要实用，有效，以解决问题有效为原则。

面临的、要解决的是实际问题，不追求数学上：高（级）、深（刻）、难（度大）。

A. 能用初等方法解决的、就不用高级方法，

B. 能用简单方法解决的，就不用复杂方法，

C. 能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少数人看懂、理解的方法。

D. 鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异数模创新可出现在

建模中，模型本身，简化的好方法、好策略等，

模型求解中

结果表示、分析、检验，模型检验

推广部分

F. 在问题分析推导过程中，需要注意的问题：

u 分析：中肯、确切

u 术语：专业、内行；；

u 原理、依据：正确、明确,

u 表述：简明，关键步骤要列出

u 忌：外行话，专业术语不明确，表述混乱，冗长。

4．模型求解

（1） 需要建立数学命题时：

命题叙述要符合命题的表述规范，尽可能论证严密。

（2） 需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。

若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称

（3） 计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出。

（4） 设法算出合理的数值结果。

5．结果分析、检验；模型检验及模型修正；结果表示

（1） 最终数值结果的正确性或合理性是第一位的 ；

（2） 对数值结果或模拟结果进行必要的检验。

结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因， 对算法、计算方法、或模型进行修正、改进；

（3） 题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出；

（4） 列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据；

（5） 结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析

数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式

求解方案，用图示更好

（6） 必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。最后结论要明确。

6．模型评价

优点突出，缺点不回避。改变原题要求，重新建模可在此做。推广或改进方向时，不要玩弄新数学术语。

7．参考文献

8．附录

详细的结果，详细的数据表格，可在此列出。但不要错，错的宁可不列。主要结果数据，应在正文中列出，不怕重复。 检查答卷的主要三点，把三关：

n 模型的正确性、合理性、创新性

n 结果的正确性、合理性

n 文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩

三、对分工执笔的同学的要求

四．关于写答卷前的思考和工作规划

答卷需要回答哪几个问题――建模需要解决哪几个问题

问题以怎样的方式回答――结果以怎样的形式表示

每个问题要列出哪些关键数据――建模要计算哪些关键数据

每个量，列出一组还是多组数――要计算一组还是多组数……

五．答卷要求的原理

u 准确――科学性

u 条理――逻辑性

u 简洁――数学美

u 创新――研究、应用目标之一，人才培养需要

u 实用――建模。实际问题要求。

建模理念：

1. 应用意识：要解决实际问题，结果、结论要符合实际；模型、方法、结果要易于理解，便于实际应用；站在应用者的立场上想问题，处理问题。

2. 数学建模：用数学方法解决问题，要有数学模型；问题模型的数学抽象，方法有普适性、科学性，不局限于本具体问题的解决。

简述数学建模的过程篇6

一、前言

目前，我国各大专院校至中专学校在工程类专业均开设了CAD、CAM类型的软件学习课程，我校在数控、模具、汽修几个专业开设了AutoCAD与ProE软件学习课程。在AutoCAD与ProE软件的教学实践中，特别是在学习的初级阶段，我们老师经常见到少数学生在同一台计算机上同时打开AutoCAD与ProE软件，欲比较同一幅图在两种软件中画法上的差异性、规范性和绘图效率，同时，学生们也会向老师提出一些相关问题，如：两种软件绘制的平面图有什么差别？哪款软件绘图方便？它们的应用场合？等等。面对有关问题，我们教师应当从理性和感性两方面着手，才能予以全面和正确的解答。在理性方面，我们可以简要说明矢量化软件与参数化软件的特点与区别，我们还应当花一点时间，有针对性的讲解《画法几何》、《机械制图》相关知识；在感性方面，在上计算机操作课的时候，我们偶尔用同一幅图在两种软件中做示范性练习和讲解。这样一来，既可以减少学生们学习的困惑、课堂的躁动，又可以顺利实施各软件后续的相关教学活动。（说明：一般情况下，每堂计算机课只允许学生打开和学习一种软件。AutoCAD软件后续教学内容是完整的工程图绘制及实体图绘制，均为DWG格式文件；ProE软件后续教学内容是零件、组件、制造等模块，ProE3.0文件格式有10种，在此述略。）

二、AutoCAD平面图特点

1、AutoCAD软件简介：AutoCAD是Autodesk公司发明的一款矢量绘图软件，采用笛卡尔直角坐标系为参照，支持直角坐标、球面坐标、柱面坐标、极坐标输入法。对于一般平面图形还是以相对坐标法、距离法为主要的数据输入方式。其在三维造型功能上，曲线基本未超过圆的方程，简单易学，尚不能广泛应用于模具制造行业，况且，该软件在数控仿真方面才刚刚起步。AutoCAD软件目前主要应用于机械制造、建筑、矿山等行业的二维工程图的绘制（俗称三视图及轴测图），由于简单易学，界面简洁，文字、标注、打印等样式灵活可调，因此，AutoCAD软件在工程行业广受欢迎。

2、AutoCAD绘图过程：一般来说，工程图须采用正投影、单线条构图，工程图在投影关系、画法、文本格式等居多方面各个国家都有严格的要求。AutoCAD正是由此应运而生的一款软件。我总结该软件绘图过程是：启动命令单击起点（或称前点）命令选项单击透明命令输入数据单击终点结束，反复重复上述操作步骤。上述绘图过程中，对于一些简单的操作命令，命令选项、单击透明命令两步骤可省略，输入数据步骤有时可用自动捕捉、鼠标点击代替。显然，上述基本绘图过程简单易记，容易让操作者形成一定的习惯，也便于学习掌握，但是， AutoCAD软件包含太多的命令、 步骤，几乎每条线需要由一个命令来构图，在较多采用圆弧连接的图例中，有时还需要绘制辅助线找出定位点，加之，后期的编辑修改类似于上述绘图操作步骤也有较大的工作量，这就使得其绘图过程较ProE软件慢一些。

3、AutoCAD平面图特点：其一，尽管AutoCAD支持位图输入、输出（2004版本以后），其主要构图元素仍然是点、直线、圆类曲线，且为矢量线性，保真度很高，可满足于工程界的测绘、打印的需要；其二，AutoCAD平面图形结构稳定，各图元之间的相对位置关系不易产生滑变，便于编辑修改和分析研究；其三，在不使用内置模块时，也能制作出符合各个国家标准的工程图样来；其四，在需要出图的其他学科，可以作为辅助教学手段使用，如：《机械制图》、《机械基础》、《平面几何》等多媒体教学和试题制作；其五，AutoCAD平面图绘图过程有时比ProE草绘图繁复一些。

三、ProE草绘图特点

1、ProE软件简介：ProE软件由美国PTC公司开发，1988年推出。该软件集CAD（设计）、CAM（制造）、CAE（仿真）三大功能于一体，可谓是一款全方位的工业设计软件。我们可以用它进行零件设计、零件装配、模具制造等工作，但是，不同的功能必须在不同的模块下进行操作。ProE草绘图既是一个单独的模块，也融汇于3D建模过程中经常被使用。ProE草绘图可作为SEC格式文件单独保存。

2、ProE草绘图绘制过程简述：我总结ProE草绘图绘图过程是：启动命令单击起点单击终点结束反复重复上述步骤修改参数约束、编辑、修剪。其中，修改参数、约束、编辑、修剪这几个步骤比AutoCAD的绘图、编辑过程快捷很多。

3、ProE草绘图特点：其一，其主要构图元素为点、直线、二次曲线，且为矢量线性，保真度亦很高；其二，ProE草绘图的线型、颜色单调，不能满足于工程图的各种格式要求；其三，由于是参数化构图，各图元除了保持各自的方程特性和约束特性外，各图元之间在鼠标碰触时会产生滑变，即，定位尺寸和定形尺寸容易发生变化，因为定位尺寸和定形尺寸都属于可调参数；其四，ProE草绘图尽管可作为独立的SEC格式文件保存，一般不能被工程上单独使用，它通常被用作3D建模的过程图；其五，总体上看，ProE草绘图绘图过程比AutoCAD平面图绘图过程快捷些。

四、比较法教学实例

1、分别在ProE草绘图和AutoCAD平面图中绘制下列五角星（图1）。

[操作过程简述] 在AutoCAD平面图中，单击line命令，单击起点，用相对极坐标输入法输入数值（略），至结束。在ProE草绘图中，单击“两点线”按钮，连续画出五条直线，结束，附加五条直线“相等”约束，修改参数（长度、角度）。

[比较结果] AutoCAD平面图用相对极坐标法输入数值过程需较长时间，不如ProE草绘图绘制过程快捷、易掌握。

2、分别在ProE草绘图和AutoCAD平面图中绘制下列三视图（图2），无需标注尺寸。

[操作过程] 述略。

[比较结果] 由于不必标注尺寸，AutoCAD平面图通过使用极轴追踪、对象捕捉手法，绘图速度比ProE草绘图快捷。ProE草绘图必须通过修改参数完成绘图，速度慢一些，并且，系统自动生成许多弱尺寸，使得图面不够简洁。

五、结论

1、AutoCAD软件界面简洁明了，具备中学数理水平的学习者可以较快掌握AutoCAD平面图绘制方法。ProE草绘图也是如此。但ProE其他模块的学习则需要较高的知识准备，在此不赘述。

2、AutoCAD平面图应用广泛，甚至可以被ProE借用。ProE草绘图一般只是3D图的过程图。

简述数学建模的过程篇7

    关键词:数理经济模型;计量经济模型;经济增长模型;生产函数

    一、引言

    作为索洛-斯旺经济增长模型的一个具体形式,20世纪30年代初,美国经济学家柯布和道格拉斯提出下列生产函数:

    Y=Kα(AL)1-α,(0<α<1)

    式中,K表示资本,L表示劳动,A表示“知识”或“劳动的有效性”,AL表示有效劳动,α是参数,Y表示产量。这就是着名的柯布-道格拉斯生产函数。柯布和道格拉斯用美国1899-1922年制造业的生产统计资料来估计模型的参数,得出:

    Y=1.01L0.75K0.25

    对这个生产函数以及柯布、道格拉斯所做的工作,余斌,程立如提出了下列批评[1]:

    第一,柯布-道格拉斯生产函数“论证”了资本家的所得不是来自劳动所创造的剩余价值,而是来自资本的边际产出。从而成为为资本主义制度进行辩护的工具。第二,柯布-道格拉斯生产函数中遗漏了许多可能会影响产出的其他的重要因素。如:机器性能的提高、由于经济的短期波动而导致的资本闲置或过度使用的情况、工人每天(或每周或每年)工作小时数的变化、劳动者素质的变化、劳动强度的变化等。因而柯布和道格拉斯对模型所做的估计并无实际价值。本论文由无忧整理提供第三,本来,生产函数须在一定技术条件以及一定的资本有机构成下(这两个条件在不同的生产部门有很大的差别)来讨论投入对产出的影响。可是,在柯布-道格拉斯生产函数中,这些条件是随意可变的。文献[1]举例说,由于这一疏忽,可能会引出“用1个轮胎配16个汽缸可以组成一辆汽车”这样的荒谬结论。

    作为与余斌,程立如观点的商榷,程细玉、陈进坤阐述了下列几个基本观点[2]:第一,一个经济模型是这样建立起来的:在一定经济理论的背景下,根据样本数据,对经济现象众多的影响因素进行检验、比较、筛选,找出其中一种或若干种最重要的因素,用他们来构建模型(而把其他次要因素的作用效果纳入模型的误差项),然后用样本数据来估计模型的参数,最后再对估计结果进行经济意义检验和一系列统计检验。柯布-道格拉斯生产函数是通过以上程序建立的,因而是科学的。第二,影响产出量的要素有哪些?在供给不足的经济环境中,影响产出量的要素是:劳动、资本、技术等等;在需求不足的经济环境中,影响产出量的要素是:居民收入、人口、消费习惯等。第三,柯布-道格拉斯生产函数把技术条件假定为不变,这的确造成了模型与现实之间的距离。针对这一缺点,后来的学者对柯布-道格拉斯生产函数进行改进,把技术进步速度纳入了模型。第四,用样本数据估计了模型的参数之后,要检查所得的结果是否符合经济实际,接着还要进行一系列统计检验。第五,建立经济模型时要考虑所选变量数据的可得性。能够获得数据的变量才具有实际意义,才能成为模型中的变量。

    这两篇文章所提出的问题以及二者之间的争论,引起了笔者的若干思考。

    二、数理经济模型

    人们在进行经济学研究和进行计量经济学研究时,必须要把数理经济模型和计量经济模型清楚地区分开。事实上,柯布-道格拉斯生产函数(以及作为该模型一般形式的索洛-斯旺经济增长模型)属于数理经济模型范畴。后来,柯布和道格拉斯用美国1899-1922年制造业的生产统计资料来估计模型的参数,这是把数理经济模型直接移作计量经济模型来使用(我们将要在后面谈到,这种做法存在着很大的风险),此时,柯布和道格拉斯所作的事情已不再是研究一个数理经济模型,而是在估计一个计量经济模型(此时,模型中加上了随机项,而数理经济模型是无所谓随机项的)。

    数理经济学是运用数学方法对经济学理论进行陈述和研究的一个分支学科。数理经济学中的数学模型,是为了探索不能用数字表现的数量之间的关系和不能用代数表现的函数之间的关系,这种模型旨在通过数学逻辑推理来阐释经济现象之间的关系和演变趋势。这就是说,数理经济学是在理论的层面上运用数学语言来研究和表述经济理论,而不是在经验的层面上对经济现象在具体时间、地点、条件下的结局进行描述、估计或预测。

    余、程的文章和程、陈的文章同样都把数理经济模型与计量经济模型混为一谈了。余、程文章的主旨是要批评一个数理经济模型(柯布-道格拉斯生产函数),程、陈文章的主旨则是要为这个数理经济模型辩护。但是,两篇论文的内容,其实却撇开了数理经济模型,说的都是计量经济模型的事情。例如,余、程的文章批评说,模型中遗漏了若干变量、没有把技术条件固定住。对于计量经济模型,这些批评是对的;对于数理经济模型,这些批评则是不对的。再如,程、陈的文章一开篇,便开宗明义地说,经济模型中会含有一个误差项(随机项),显然,作者这里所说的“经济模型”指的是计量经济模型而不是数理经济模型,因为,数理经济模型无所谓随机项,计量经济模型才考虑这个项。该论文接下来所说的收集样本数据、对模型进行估计和检验等等,也全都是建立计量经济模型时候的事情。

    把数理经济模型与计量经济模型混为一谈的现象,在一些研究人员的成果中也常可见到。有的作者用索洛-斯旺经济增长模型的柯布-道格拉斯生产函数做计量经济分析时,把索洛-斯旺经济增长模型里假定为外生的那些变量作为计量经济分析中理所当然的假定前提,并相应地假定随机项的期望值为0。这些研究人员认为,由于现在使用的是索洛-斯旺模型而不是别的其它模型,就应该把索洛-斯旺模型的假定作为对现实生活的假定,认为这就是以经济学理论为根据。这些作者犯了用模型定义现实世界的错误。计量经济分析的目标是尽可能准确地描述现实世界。现实世界只有一个。现实世界是检验计量经济分析正确性的唯一标准。

    现在我们来考察数理经济模型。

    一个经济学原理,可以用文字阐述,可以用图形来直观地描述,也可以用数学语言(数学模型———数理经济模型)来表述。三者目标相同,都是为了阐释经济学原理(而不是模拟现实世界)。

    为了使经济原理的阐释更易于理解,常常需要把现实世界加以简化(简化的世界当然已经不是真实的现实世界)。这是允许的。因为数理经济模型的目的并不是模拟真实的现实世界,而仅仅是为理解这个世界的特定特征提供见解。这种简化现实世界的方法叫做抽象法。抽象法是科学研究中一种常用的方法。马克思在《资本论》中,为了阐述劳动创造价值的理论和剩余价值理论,舍象掉了生产商品的劳动的具体形态

    而仅仅从量上考察抽象的人类劳动;舍象掉了商品的使用价值而仅仅考察商品的价值———生产商品的社会必要劳动时间。在自然科学里,抽象法的使用也比比皆是。例如,物理学在阐释一个力学原理时,常常会把摩擦力忽略不计。索洛-斯旺经济增长模型(以及作为它的具体形式的柯布-道格拉斯生产函数)同样使用了抽象法,把现实世界中一些本来对经济增长有影响的因素假定为不变。该模型假定,产出量Y对于资本K和有效劳动AL是规模报酬不变的,即:如果资本和有效劳动加倍,则产量加倍———这意味着,对新投入品的使用方式与对已有投入品的使用方式一样———这也就是假定,资本有机构成不变。

    美国经济学家戴维·罗默更具体地指出了这个模型所应用的假定:只有一种产品;没有政府;就业的波动被忽略;储蓄率、折旧率、人口增长率和技术进步率均不变[3]。对现实世界所作的舍象越多,模型越容易理解,但是,模拟现实世界的能力越差。为了缩小数理经济模型与现实世界的距离,经济学家会把被舍象掉的东西逐步纳入模型,从而使得数理经济模型越来越深刻。索洛-斯旺经济增长模型假定储蓄率s不变,在这一假定下,t时刻的投资sY(t)是t时刻产出量的一个固定的比例,可是,在实际上,s是在家庭和厂商各自追求效用最大化的相互作用下对家庭的收入进行“消费”和“储蓄(即厂商的投资)”分配的权衡之后形成的,它不是固定的;索洛-斯旺经济增长模型假定人口增长率不变,可是,在实际上,人口增长率也不会固定不变。这种过度的舍象使得索洛-斯旺经济增长模型不能很好地解释经济增长。本论文由无忧整理提供后来提出的拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型,通过“产量减消费”来计算投资,其中的消费通过对家庭的效用函数在效用最大化的目标下求解得到,这样,就把储蓄率从外生不变转变成为内生变化;再后来,进一步把人口变动从外生转变成为内生,提出了有移民的经济增长模型(包括有移民的索洛-斯旺经济增长模型和有移民的拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型)。在这里我们看到了数理经济模型从简单到复杂,对现实世界的解释能力从低到高的发展过程。顺便说一句:程、陈文章所谓在供给不足的经济环境中影响产出量的要素是劳动、资本和技术,在需求不足的经济环境中影响产出量的要素是居民收入、人口和消费习惯的说法显然是错误的———事实是,索洛-斯旺经济增长模型舍象掉了居民收入、人口和消费习惯等变量,后来一些进一步的模型把这些变量加了进来。

简述数学建模的过程篇8

关键词:相似原理; 电网络模型; 非电系统; 动力系统

中图分类号:TP274 文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2010)13-0127-04

Application of Electrical Net Model in Dynamic Systems

LI Mei1, XU Ting2, CHENG Wei-liang2

(1. Sh

nxi Polytechnic Institute, Xianyang 712000, China; 2. North China Electric Power University, Beijing 102206, China)

Abstract: The correspondence principle of electrical system corresponding to other systems is established according to similarity principle. The application study on electrometric method of dynamic systems is brought into effect. The typical examples on mechanics, biochemistry and thermodynamics are given respectively. The electrical-network topology structure is established and the electrical-network modeling and simulation are implemented by analyzing the spring-mechanism system. A blood-vessel topology structure is adopted to realize the correlative simulation and analysis. The port network based on thermodynamics parameters and correlative model are described in accordance with the essence consistency between electrical-network method and engineering thermodynamics. These above declare that the electric-network model is a generic processing tool for power-flow systems, and has a broad prospect in the analysis of non-electric systems.

Keywords: similarity principle; electric-network model; non-electrical system; dynamic system

0 引 言

当前,随着工业及其自动化的迅猛发展,模拟方法已经成为各种复杂系统研制工作的必不可少的手段。建立模型是系统模拟分析的基础,其本质是依据系统之间的相似性原理。在研究不同类型的系统时,一种系统可能比另一种系统更容易通过试验进行研究,所以可以在一对系统之间建立一种对应关系,从而可以利用模型对实际系统进行研究。这样不但可以使实验系统简化,而且使实验成本和复杂及危险程度大大降低。

随着工业中各学科的不断发展,学科的交叉和渗透也是当前科技辉煌发展的重要方向之一,电路及点网络理论已经在机械力学、生物医学、工程热力学,甚至在经济学等领域上已经初步得到了应用[1-3],尤其在前两个学科上的应用已经日趋成熟[4-7],如扩散-对流-化学反应的耦合和相应传输求解问题、网络的拓扑处理、三角化学反应问题、微观对称网络与混合网络、非平衡态热力学与运动学系统的时间特性与进化、分段线性网络、稳定与摇摆等。利用电路系统来模拟实现能源动力系统的分析和优化,将大大提高对实际系统的分析效率和处理精度。

1 电网络系统的物理构成法则

在电学中,其基本计算处理元件包括电阻、电容及电感。它们的u-i或u-q关系式如下:从物理意义上讲,电阻与力和流有关,电容与电荷和力有关,电感与冲量和流有关。对于理想化的电阻,它的作用可以理解为通过网络元件的所表现出来的耗散。在网络的Langrangian公式中,电阻代表了系统的非守恒思想。电容是一种没有耗散的能量储存形式,表现为趋于平衡的孤立系统的理想状态。由于在电容的真实过程中总是存在耗散的,因此现实电路中要求有┮桓霆电阻与电容串联以保证在数学上对系统的忠实描述。在大多数系统中,电容还是系统提供动力的元件。电感是一个理想的惯性元件,其模拟应用的主要领域是机械学。

2 动力系统中的模拟应用

电网络在动力系统中模型的建立过程,其实就是等效电系统的过程,其对应原则遵循电路、电阻和电容的广义思想策略,即在一切含有物流与能流的动态系统中,不论该系统中是否有电的存在都可找到电系统中电阻、电容和电感等概念的对应物,电阻可以对应各种阻力和对能量的消耗与节流,电容可以对应各种形式的储存能量,而电感则可对应各种惯性存储能量。这样所建立的网络模型很自然要服从Kirchhoff的电流电压定律,而这两条定律是正交的,正适合各种强度量与广延量之间的关系,因此从理论上讲,电网络模型可以模拟表达任意的力(强度量)与流(广延量)的耦合参数与信息状况。

2.1 弹簧机械系统模拟描述

机械学中存在的许多物理现象,都可用对应的电方法描述,进而为相应问题的求解和分析提供了一种可行的简洁途径。图1为一个由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统(阻尼器的质量可以忽略不计),在对应的图2中,描述为一个对应的由电阻、电感、电容组成的模拟电路系统[8]。

图1 简单的弹簧机械系统

图2 图1对应的拓扑结构图

上述系统描述后所建立的模型分别为:

md2xdt2+fdxdt+kx=P

(6)

Ld2qdt2+Rdqdt+1cq=u

(7)

可看出,这两个方程具有相似的数学描述,并且在参数上存在一一对应的关系,相应地两者的响应也具有相似的振荡特性。设图1中,木块质量m=1 kg,阻尼系数f=02 N/(m•s),弹性系数k=40 N/m,则对应电路中,L=1 H,R=02 Ω,c=0025 F。用电路仿真软件PSpice仿真,t=0 s时,向电压源施加激励1 V时,

回路电流随时间的变化曲线中,开始振幅很大,随后沿中心线逐渐衰减,最后回落至零。而用Matlab仿真图1机械系统时,在施加力P为1 N时,对应弹簧的振动速度dx/dt随时间的变化曲线也类似于上面电气系统进行模拟仿真的变化规律。这时,如果参数选择适当,其结果在数值上,同利用机械系统进行试验的结果将完全相同,因此可以将机械系统通过电气系统的相似模型来处理[9] ,其相似对应关系如表1所示。

表1 机械系统和电气系统的相似性

机械系统电气系统

力P /N电压E /V

质量m /kg电感L /H

阻尼器阻尼系数f /(N/(m•s))电阻R /Ω

弹性系数k /(N/m)电容的倒数1/C /F-1

位移x /m电量q /C

速度dx/dt /(m/s)电流i /A

2.2 在生化的动力系统中的应用

在生化的动力系统分析中,各种化学反应也是微观粒子在浓度差的驱使下发生变化的过程,这也符合电网络理论体系中力-流的关系[10]。例如建立血管系统的电路模型,为简化计算过程,可作如下假设:血液为不可压缩的牛顿液体;血管为薄壁直圆管;除主动脉上升支和主动脉弓外,其余部位血管中的流动均为轴对称的层流,其流速呈抛物线分布;只考虑血压沿其轴向的变化;忽略血管壁的运动,则可由Navier-Stokes方程得到各段血管压力及流量间的关系,具体的关系式如下:

qn=1Ln∫(pn-1-pn+p┆Gn-Rnqn)dt

(8)

pn=1Cn∫(qn-qn+1)dt+0.002(qn-qn+1)Cn

(9)

即每段血管可由四元件等效电路来模拟,其中:pn,qn为第n段血管的压力和流量;pn-1为前一段血管的压力;qn+1为下一段血管的流量;式(9)中的最后一项为考虑血管的粘滞性而加入的修正项。

图3为所研究对应血管段的等效电网络图,PE表示各血管段所受外加压力;Rn,Ln及Cn分别表示第n段血管的等效流阻、У刃Я鞯绺屑把管等效电容,其值可由式(10)~式(12)求出:

Rn=8πμ3n/V2n, Vn>Vn0

8πμ3nVn0/V3n,Vn

(10)

Ln=2ρl2n/Vn

(11)

Cn=3πr3nln/(2Ehn), Vn>Vn0

60πr3nln/(2Ehn),Vn

(12)

式中:Е盐血液密度;Rn为血管半径;ln为血管长度;hn为管壁厚度;μ是粘滞系数;E是管壁的弹性模量;Vn为血管容积;Vn0是血管