数学建模插值法篇1

Abstract: This article mainly discusses the importance of mathematical software for the numerical calculation in computational mathematics and introduces the implementation for classical algorithms and the improvement for the algorithm by mathematics software. Finally, the applications of mathematical software in the numerical calculation is illustrated.

关键词： 数学软件；计算数学；数值模拟

Key words: mathematical software；computational mathematics；numerical simulation

中图分类号：G434文献标识码：A文章编号：1006-4311（2014）23-0250-02

0引言

计算数学也叫做数值计算方法或数值分析，主要内容包括代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值解法，函数的数值逼近问题，矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计计算问题等等，还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。计算数学的重要性日益显现。现代的科学技术发展都离不开大量的数值计算问题。比如，发射一颗探测宇宙奥秘的卫星，从卫星世纪开始到发射、回收为止，科学家和工程技术人员、工人就要对卫星的总体、部件进行全面的设计和生产，要对选用的火箭进行设计和生产，都有许许多多的数据要进行计算。

1计算数学必备的基础

除了掌握数学专业必修的基础课程：高等代数、数学分析、空间解析几何和概率论语数理统计、常微分方程之外，计算数学还应该掌握泛函分析，数学物理方程，矩阵分析，C语言程序设计等，更需要有数值分析、差分法、有限元法统称的偏微分方程数值解法。

2数值模拟及其重要性

数值模拟也叫计算机模拟。依靠电子计算机，结合有限元或有限容积技术，通过数值计算和图像显示的方法，达到对工程问题和物理问题乃至自然界各类问题探究。

数值模拟技术诞生于1953年Bruce和Peaceman等对一维气相不稳定径向和线形流的模拟。受当时计算机能力及解法限制，数值模拟技术只是初步应用于解一维单相流问题。1954年，West和Garvin等模拟了油藏不稳定两相流。

数值模拟包含以下几个步骤：

①首先要建立反映问题（工程问题、物理问题等）本质的数学模型, 即建立反映问题各量之间的微分方程及相应的定解条件，这是数值模拟的出发点。

②数学模型建立之后，需要解决的问题是寻求高效率、高准确度的计算方法。由于人们的努力，目前已发展了许多数值计算方法。计算方法不仅包括微分方程的离散化方法及求解方法，还包括贴体坐标的建立，边界条件的处理等。这些过去被人们忽略或回避的问题，现在受到越来越多的重视和研究。

③在确定了计算方法和坐标系后，开始编制程序和进行计算。由于求解的问题比较复杂，比如方程就是一个非线性的十分复杂的方程，它的数值求解方法在理论上不够完善，所以需要通过实验来加以验证。正是在这个意义上讲，数值模拟又叫数值试验。这部分工作是数值模拟的重点。实践表明这一部分工作是整个数值模拟的主体，占绝大部分时间。

④在计算工作完成后，大量数据只能通过图像形象地显示出来。因此，数值的图像显示也是一项十分重要的工作。

3基于数学软件Matlab的数值算法实现

下面通过2个数值例子说明数学软件Matlab[1]在学习数值分析和差分方法上方便快捷和有效性

算例1[2] 比较分别采用二次插值和三次样条插值以及分段线性插值在求解下面问题，并考虑各插值方法的误差及算法效率问题。

求x=0.45,0.55,0.61,0.78,0.82,0.94的近似解。

一种是利用插值公式，建立M文件，构造出插值多项式，然后对所求的点带入求解。

这种方式针对Matlab初学者比较适用，一方面熟悉Matlab编程计算环境，联系编写M文件，为以后编写复杂的算法做准备。

第二种是直接调用Matlab软件自带的函数命令，yi=interp1(X, Y, xi, method)。

其中X是已知自变量，Y是已知函数值，xi待求节点自变量，method可为一次插值’linear’，二次插值’square’，三次插值’cubic’，样条插值’spline’。

在Matlab命令框输入以下命令

X=[0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9]；%注意这两行命令是输入已知数据条件

Y=[-0.9163 -0.6931 -0.5108 -0.3567 -0.2233 -0.1054];

Xs=[0.45 0.55 0.61 0.78 0.82 0.94]；%需求节点值

Y1=interp1(X, Y, xs, 'linear')；%线性插值所得的函数值

Y2=interp1(X, Y, xs, 'square')；%二次插值所得函数值

Y3=interp1(X, Y, xs, 'cubic')；%三次插值所得函数值

Ys=interp1(X, Y, xs, 'spline')；%三次样条插值所得函数值

通过运行得到表2所示结果。

其真解为：-0.7985 -0.5978 -0.4943 -0.2485 -0.1985-0.0619

Xz=[X, Xs]

plot（Xz,Y1,’k-’,Xz,Y2,’k*’,Xz,Y3,’k’,Xz,Yz,’r’）

根据得到的计算结果我们分析其结果，会发现一次插值和三次插值的误差较大，并不是插值多项式的阶数越高，精度越高。

同时我们可以分析其偏差，利用下述代码计算

Error_21=sum(sqrt((Y1-Yz).^2))；%一次插值的误差

Error_22=sum(sqrt((Y2-Yz).^2))；%二次插值的误差

Error_23=sum(sqrt((Y3-Yz).^2))；%三次插值的误差

Error_2s=sum(sqrt((Ys-Yz).^2))；%三次样条次插值的误差

椭圆型方程有着重要的现实意义。比如，带有扩散的两物质自催化反应模型，带有非单调反应函数的两种群食饵-捕食模型，带有扩散的三种群周期互惠模型，带有扩散的三种群周期竞争模型本算例选取最简单的计算方法五点差分法求解椭圆方程问题。采用Matlab编程实现此计算方法的数值模拟。由于篇幅限制，本文仅例举出一维的带界面的椭圆方程的算例。这里求解的问题是椭圆方程在定义域内有不连续点的情形。 若问题采用五点差分格式计算椭圆偏微分方程边值问题，就可以转化为解含间断节点的椭圆边值问题，即构造改进五点差分格式算法去求解带界面的椭圆问题。由于篇幅限制仅列出一维问题的算例。

算例 2[3] -(βux)x+κu=f+Cδ(x-α)+δ′(x-α)

x∈Ω\a，Ω=[0,1]，α点处函数的左右极限及导数都不相等。并且满足跳跃值为[u]=u+-u-=，[βux]=β+u-β-u。

下面利用Matlab给出了改进的中心差分格式的算法实现，解决单个跳跃或者多个跳跃的问题。改进程序主要分为以下几个板块（a）初始化变量；（b）特殊单元差分格式的求解；（c）系数矩阵的求解；（d）线性方程组求解及误差求解（e）数据输出及可视化。若将[0,1]分为10等分求解分片二次多项式的问题，则得到的误差是机器误差。数值模拟及误差分布结果参看图2。其中图1（1）是一个间断点的数值解和真解的比较，图1（2）一个间断点数值解的绝对误差，图1（3）是两个间断点的数值解和真解的比较，图1（4）两个间断点数值解的绝对误差。我们发现模拟结果相当好，也验证了一维的浸入界面方法的精度为2阶精度。

通过 Matlab 软件实现了不连续问题的一维椭圆问题的求解。也可以实现很多基于经典数值方法的改进，求解更多复杂问题。用 Matlab 软件的编程容易实现可视化效果。基本实现了对计算数学的数值模拟的实现。当然这里只是举出2个简单的算例。

4总结

本文主要探讨了数学软件Matlab在计算数学的数值模拟中的重要性。并用两个数值例子说明了数学软件在数值模拟的有效性和可靠性。这将对有志从事科学计算的研究人员有一定的引导和帮助作用。

参考文献：

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数学建模插值法篇2

关键词:气候 空间插值 环境影响因子

中图分类号:P46 文献标识码:A 文章编号:1007-3973 (2010) 03-059-03

1前言

温度、降水等数据一般都来自于有限的气象站点观测,进而插值生成连续分布的空间信息。但由于气象站点定位观测获取的只是局部、离散、有限的空间点数据,要想得到区域尺度上的有关气象数据,通常利用空间插值的方法,以期来获得连续有序的空间数据。

利用已知气象站点的观测数据对未知点进行插值预测是20世纪以来地理科学研究的一个热点,而且随着现代生态学和全球变化科学的发展,也迫切需要高时空分辨率、空间栅格化的气象要素数据。因此如何充分利用有限的气候资源,根据气候要素的空间分布规律,推测无观测点和少观测点区域的气候要素值,一直是相关学科研究的热点。本文通过对空间插值方法的研究成果进行综述,分析各种插值方法的特点,期望能为空间插值方法的具体研究和应用提供一定的参考借鉴。

2气候因子的特点

由于插值方法的选择和运用是要考虑具体区域情况而定的,所以,要研究插值方法,首先就要对区域气候的形成和其气候因子的特点进行研究。某一区域气候的形成,主要取决于太阳辐射、大气环流、地理环境状况(地理位置、地形地势、下垫面状况)等因素共同作用的结果。其中,太阳辐射是气候形成的基本因子。当晴朗无云时,太阳辐射总量在地球表面的分布随纬度的增加而递减;地球表面及其上空的热量和水汽可籍大气环流的作用进行交换,因而一地的气候受大气环流的影响。而地理环境因素可影响热量平衡和水分平衡以及大气环流形势,因此一地离海洋的远近、地形地势、植被状况等也均影响其气候。

3空间插值技术的发展

空间插值技术的发展是一个由传统方法向现代方法不断演变的历史沿革过程。传统的空间插值方法有反距离加权法、泰森多边形法、多项式回归法、克里金法等,这些插值方法均是建立在存在空间自相关或在空间上平滑连续的假设之上,并未考虑相关因素的影响,插值精度不高,插值模型的物理意义也不明确。

大量的研究表明,观测站点密度比较大的地区,插值方法的精度才比较可靠,而稀疏站点以及地表变化较大区域的气候插值精度较难尽如人意。针对这一问题,近年来出现了大量的插值模型和改进算法,从发展方向上看,大致可以分为三类:一类是数据上的改进,即增加与气候相关的辅助地理信息,除经纬度与海拔高程被大量使用外,还有坡度、坡向、坡面连续性等地形地貌参数;大气影响因子如湿度、风向、离海岸线距离等等。通过增加这些辅助信息以提高插值模型的精度。另一类是数学模型上的改进,即在同样的数据源上,改进新的数学算法,以获取更优的插值模型,如PTISM模型通过加入移动窗口权重函数,以提高插值精度。还有一类则是根据特定区域的地形地貌特征而提出一种新的更适合该研究区域的插值方法。

3.1增加相关的辅助地理信息

在气象要素的插值中,要想得到较高的空间插值精度,必须进行方法性的研究,特别需要进行气象要素和影响它的诸因子之间相互关系的研究。

早在1984年,Eleanor等人运用多元回归法对气温和降水的空间分布进行插值时,就考虑到了地形变量对气温和降水的影响。而Marquinez等人则利用多元回归方法和GIS技术,分析了降水和一系列地形变量的关系,并指出最好的插值模型是将五个影响降水的地形变量(高程、坡度、坡向、离海岸线的距离和离相对西边的距离)作为影响因子来考虑。将更多的可能会影响到插值分析结果的因素考虑进去,是插值方法发展的一个主要趋势和突破点。

增加更多相关的辅助地理信息,首先就是需要掌握更多的信息,那么,在缺乏观测或数据的区域,这一方法将如何发展引来了之后的研究,特别是近年来人们越来越关注对地形复杂且气象观测站点稀疏的高原山地区域的插值研究,取得了一定的成效。穆振侠等人通过比较分析反距离加权、克里金等插值方法,探讨了天山西部山区降雨量的空间分布,得出在地形复杂的山区降雨量空间插值中将高程、坡度、坡向等作为影响因素引入共协克里金方法(co-kriging)中其插值结果较为理想,能大大提高水文预报的精度。周锁铨等人利用逐步回归方法和GIS技术对长江中上游大流域降水进行了不同时间尺度的分析,通过把降水量从地形影响部分分离出来,显著提高了年、季降水空间分布的计算精度,有效地解决了复杂地形条件下空间插值精度不高的问题,对不同的时间尺度都有较好的适用性。而阎洪在运用薄板光顺样条插值法对中国气候空间进行模拟时发现:样条插值明显优于其它插值方法,其插值结果更能反映中国气候空间的基本特征。由于局部薄板光顺样条插值法考虑到了地形对气候空间分布的影响,并结合了精确的DEM,利用线性模型而不是一个固定的经验比值表达气候变量随位置和时间而变化的比降,使山地和边远地区气候信息的表达更加真实准确。另外还指出样条法利用线性模型反映地形对气候的影响,并提供了简便的误差诊断程序,具有良好的实用性。所以说,插值方法的运用是多元化的,可以融入更多的技术和因素,不存在最好的方法,只有最适合的方法。

3.2数学模型上的改进

Wong等人将神经元网络、自组织方法、以及模糊数学等三种方法同时应用到降水插值的模型之中,取得了比较理想的插值效果。Daly等人建立了PRISM(parameter―elevation regressions on independent slopes mode1)插值模型。该模型可对不同时间尺度的降水和温度进行插值分析。属于多元回归法的一种。该模型适宜于地形起伏较大的地区。

对插值方法的改进,追求插值方法精度的提高,不能仅局限于一种方法,而是要和方法之间的分析比较相结合的。如徐成东等人在考虑到降水量与高程之间较强的相关关系,采用局部线性加权回归模型来预测山地和高原区域的降水分布时得出结论:在不同的时间段,降水量的空间分布规律有所差异,线性性加权回归模型的插值精度也有所不同;在降水量大且局部降水随机性强的月份,线性加权回归模型插值精度比常规方法要高。而在地形相对平坦的高原区域,由于线性加权回归模型中高程因素的作用降低,此时模型相当于IDW方法。又如刘劲松等人采用多元线性回归、局部插值、整体插值、综合模拟等多种插值模型对河北省年降水量的空间插值问题进行了讨论,得出插值站点数、模型类型、模型参数都会影响插值精度。对于一般的区域插值可直接采用局部插值模型,较大区域范围(如全国)可考虑多种局部插值法相结合(即分区域插值),如果要细化插值结果,可考虑引入经度、纬度、海拔等因子与局部模型相结合。选择插值模型的关键在了解不同插值模型的特点及站点的分布密度、区域特征。

随着时代的更替,特别在现代,数理方法的应用范围变的更广,对于插值方法这一包容性很大的科学来说,十分适用,更可能的是,将一些例如数理方法、高新科技手段等新方法本身作为技术主线,以插值方法为载体,提出一些新的方法。

3.3新方法的提出

Hutchinsont针对气候要素插值的特点,基于经度、纬度和海拔高度的线性相关关系,提出了薄板局部光滑样条插值方法,经不断改进得到了广泛的应用,之后还发展了相应的空间插值软件(ANUSPLIN)。这一方法之后成为空间插值的主要方法之一,是一个突破。

随着科学方法的进步,从来就是遵循从学到破再到立的过程,当有限的气象站、不尽合理的空间布局获取的气象数据难以满足对不同空间尺度下插值精度的要求时,人们往往会寻求一种新的更有效的空间插值方法。如:Lin等人提出了一种名为改良型径向基函数网络(IRBFN)的插值方法,这种插值方法是将标准型径向基函数网络与半方差函数模型相结合而产生的。并且还将IRBFN运用于台湾南部的潭水河区域的空间降水插值分析,并与标准型径向基函数网络及普通克里金插值方法进行了对比,得出用IRBFN插值所得估测数据的插值误差最小。

潘耀忠等人在分析了中国多年月平均温度和年平均温度的空间分布与经度、纬度、高度等的内在关系,以及温度插值过程中的站点间的最佳响应距离后,提出了一种基于DEM和智能搜索距离的温度空间插值方法(SSI),并与反距离加权等传统方法进行了对比研究。结果表明:利用SSI方法不仅可以生成高精度、高空间分辨率的网格温度结果,而且其插值结果能客观细致的反映温度随经度、纬度和高度梯度变化的地带性特征。这对与温度相关的其他指标的空间插值具有一定的借鉴意义。

辜智慧,史培军,陈晋提出一种基于地统计学分析,在无站点分布且无周边站点影响的区域增加模拟站点的方法,对气象观测站点稀疏的地区进行降水插值,其既不完全依赖于其他自然因子与降水数据的相关性,又对原观测站点降水数据的空间变异性进行了补充,可作为观测站点稀疏区域插值算法改进的一个新方向。但此方法在对模拟站点布局等问题上存在较多的主观性和不确定性,理论变异模型的拟合优化也需要进一步明确的验证。可见,新方法的完善还需要一段时间,但其基本思路是值得借鉴的。

4检验方法

插值方法的改进、创新,就是为了得到一个更加精确、更加可靠的结果,所以,就要进行检验。在进行气象数据空间插值时,交叉验证(cross-validation)是应用最广泛的一种精度评价方法。它通过逐一剔除站点的观测数据,利用其他站点数据进行模拟生成该站点的预测值,将其与实测数据进行比较,以分析估计误差在各个站点的分布情况。对不同的插值方法,交叉验证可以准确的验证不同插值方法之间的相对精度。而在一般情况下,在比较不同模型的模拟精度时,通常彩平均绝对误差、平均相对误差和平方根误差作为评价指标。

5讨论与展望

纵观插值方法的研究,可以看出,大尺度(如全球)观测站点密度较低的插值不宜用局部插值法,但可以引入经度、纬度、海拔等因子进行模拟;地形复杂、实测站点少的小区域插值则应考虑海拔、坡度、坡向等地形因子;而一般的区域插值可直接采用局部插值模型,较大区域范围(如全国)的可考虑多种局部插值法相结合(即分区域插值),如果要细化插值结果,也可考虑引入经度、纬度、海拔等因子与局部模型相结合。

综上所述,从国内外的研究来看,空间插值方法的研究在对于方法本身的突破上已基本处于停滞状态,新方法的产生具有很高的难度。现今的研究趋势已从对插值方法本身的研究转移到对传统方法的改良上来,主要是强调其实用性。主要的改良方法:一是在插值方法中引入尽量多的影响气象要素的环境因子来进行运算分析;二是将现代数理方法及现代科学技术方法与各类传统的插值方法进行融合;三是将各类传统插值方法放到具体的地区和领域中去,并进行比较分析,得出相对最优的插值方法。在以后的几十年内,这三种改良方法还有进一步结合的趋势。

总之,应根据研究目的和研究区域的自然地理地形特征来选择合适的插值方法和参数。对于众多的空间插值方法而言,没有绝对最佳的方法,只有在特定的条件下,对于特定区域实际情况的最佳方法。而随着人工神经网络等新科学技术的引入,结合各种方法优点的混合插值法是未来插值方法研究的一个重要方向。

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数学建模插值法篇3

【关键词】NURBS 应用 数控

在高速高精加工要求不断严格的时期其nurbs直接插补技术在数控系统插补中的作用，其价值开始不断的获得应有的体现，开发高速高精的数控系统对工程应用有着最为严密的目标要求。再起基于微处理器进行核心运作的嵌入式数控系统技术，其目前在数控技术领域中价值获得不断体现的重点技术。数控系统运作的稳固性获得保障的条件下，数控系统的整体运行性能获得广泛的提升。

1 系统的架构硬件电路设计

在嵌入式数控系统硬件电路需按照系统功能的对应要求，区分不同模块单位，即主控模块、存储模块以及交互运作模块，并也要对输入/输出接口模块等进行有效性的构建。x86+CPLD主控模块本系统需要用到微处理器是486sx级别的x86微处理器，其对应的型号标准为r1610，并要满足cpld内部实现精插补装置转换应用建立。使得eep-rom结构的cpld器件可获得基准标致的建立依据。其器件掉电后逻辑会得到非易失性补充建立。

在其存储模块构建中需要用到r1610，其内部没有存储空间，进而添加外扩程序存储装置和和数据存储装置。保障其运作存储空间为2Banks*512K，其输入输出接口模块在信号模式上可以抑制共模干扰因素发展，在其中差分信号的输入输出采用AM26LS32为其主体，优势在于组芯片和ttl电属于兼容状态，在保障平稳驱动主轴中获得距离的合理加深。系统需要提供连续平滑变化的模拟信号，因此主轴接口设计采用D/A控制输出电路来控制主轴转速。本系统所有的输入输出的电路控制，使得其运作可以通过光耦芯片并保障其可以形成有效的抑制尖脉冲等干扰情况。同时对负载能力要进行有效的提升，通过低速开关量输出信号经过光电耦合装置，通过达林顿管进行效果的放大负载程度保障。

2 软件设计

系统软件设计需要在两个方面进行控制，首先需要在cpu的控制，并呀对控制软件内容进行客户程序译码以及速率程度控制，并根据其实际效果进行粗插补运算程序保障等，使得可以获得最为合理的管理判定以及参数设置，同时对相应刀具轨迹模拟要保障有效性可以执行，另一方面cpld内的处理软件要保障可以获得最为合理的数据读写控制，对其产生的数值需要满足硬插补及O类信号获得直接的反馈集成[3]。

3 实现计算

插补方法设需应用插补方法是数据采样插补模式，进而保障cpld中获得精插补器功能满足，此刻需采用DDA计算方法，对单一插补周期进行粗插补开始进行计算，并对其速率实现控制，进而保障次级周期各轴功量获得稳定的输送，需保持cpld插补缓冲获得时间稳定的迟滞。第一次运作后向cpu输出其外部传递信号并断开，让插补缓冲区中读取其插补周期提供的的数值标识，获得独立完成的保障，在cpu计算次级周期精插补进给量。由于精插补通过cpld内部计数器控制，进而去报插补周期获得粗插补运算的时间范围的满足并引入到次级插补周期表示中。在其cpu进行程序段译码转换以及刷新运作后可满足程序段间无间断操控过程。其直接插补算需要遵循系统采用中nurbss直接插补算计算。具体是在加工的nurbss曲线同时满足插补的间接递进程度，获得最大弦高误差率的出现以及最大法向加速率程度的保障，进而得出其约束的进给速度曲线表示范围，对其下降段和曲率提升作用程度进行判定。进行分段，从而将nurbss曲线划分为速度递增和递减的各曲线段；然后对各曲线段分别进行速度规划，得到对各曲线段进行插补所需的加速段或减速段的转换效率情况，同时利用资料函数计算方法得出其对应的参数。在nurbss曲线加减速变动中需要考完整的七段式s形加减速算计算的应用并建立复杂性传送，让s形加减速算法中趋势表态范围获得同减速阶段判定性同质表示函数。在独立的加速段以及程度短变速分类类型会开始出现一定常态走低，其程度随函数计算的复杂性获得插补实时性条件满足。其s形减速模型的运作过程如，其最大速度为VSTR以及最大加速度amax，进而在曲线呈s形平滑过渡，加加速度被限定在理想的合适调配获得机床的压力数值建立，并开始进入s形减速过程运作阶段，其构成分为加减速和匀减速以及减减速，因而需要给定的起始速度VSTR、并对其amax等进行取值判定，控制过程需插对补周期为最小时间独立单位计算，把s形加减速进行离散化计算运作，让其获得速率分类判定类型。在数控系统输入输出中进行nurbss曲线直接插补指令结构的连续和间断的供给。取值计算函数判定nurbss曲线的控制相应的高位空间后严重nurbss曲线直接插补计算汇总加工运作各插补点的刀具周期规划，使得相应的刀轴方位矢量获得其坐标数值的判定。

最后需要机床的逆运动学坐标函数变换，通过nurbss曲线上各插补点的刀尖点坐标和刀轴矢量所对应的争控数控机床各个运动轴的差值表达，在加工过程中刀具运动平稳并得出稳定数值，证明提出的nurbss曲线直接插补算法满足插补实时性要求，并且能够使进给速度平滑变化，有效减小机床的振动和冲击。nurbss曲线加工轨迹过渡平滑是可以满足相应技术指标，其过程获得判定验证。

4 结论

通过X86微型处理器同cpld两级控制的嵌入式数控系统的建立，获得其数控系统的硬件接口电路设计运作的有效分析。进而得出nurbss曲线补计算的判定并对应其最大弦高误差、最大法向加速度等约束条件的有效性，随后用加减速曲线保障速率规划程度进而采用该嵌入式数控系统获得其加工满足，进而其系统的良好实践性获得建立。

参考文献

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[2]赵辉良.面向切削、研抛的高效NURBS曲线插补算法研究[D].湘潭大学，2010.

作者单位

数学建模插值法篇4

关键词：二维模型；特殊边界；非结构网格；耦联；自然邻点插值计算；分区插值；青铜峡河西灌区

中图分类号：TV131.2 文献标志码：A 文章编号：1672-1683（2016）04-0014-07

Abstract：In order to simulate the flood wave propagation through the breaches，a two-dimensional hydrodynamic model was developed.Roe method of unstructured mesh was used to solve the 2D model.Based on the actual characteristics such as linear features in the flood protected zone，ways and irrigation ditches were generalized to broad crested weir for calculation and endowed real height，considering it as special border and coupled unstructured mesh.Using the Natural Neighbor Interpolation，separated interpolation was conducted between protected zone and aqueduct，and terrain of aqueduct in the area was recovered，and model with real terrain was obtained through the above methods.The model was applied to the case of Qingtongxia West Irrigation of Yellow River on Sipaikou，effectively simulated water blocking of special border such as ways and irrigation ditches and water flow of bridge culverts，and the effect of drain in the aqueduct and intrusion in the estuary，and truly simulated the flood wave propagation and inundation area of flood in calculation area，thus the paper has bright application value.

Key words：two-dimensional model；special border；unstructured mesh；coupled；natural neighbor interpolation；separated interpolation；Qingtongxia West Irrigation of Yellow River

近年来，由于河道中上游植被减少，导致流域涵养水源、调节径流、削减洪峰能力降低，加之水土流失加剧，河床淤高，泄洪能力降低，洪涝灾害的发生日趋频繁。在洪水冲刷的情况下，堤防一旦溃决，将造成房屋倒塌、农田绝收的严重后果。因此，对溃堤洪水在保护区域内的演进过程进行数值模拟，可以有效开展溃堤洪水的风险分析，为防汛救灾提供决策依据。

采用二维水动力学模型模拟溃堤洪水在二维平面上的演进情况，可以获得良好的模拟效果，近年来在国内外有着广泛的应用。求解二维模型最初采用有限差分法，有限元法和有限体积法等也被应用到二维水流数学模型的求解中。姜晓明等[1]采用基于黎曼近似解的水动力学模型对松花江干流胖头泡溃堤洪水进行了模拟计算；田志静[2]等根据洪水传播和运动的特性建立了二维水动力模型，并对沁河高庄段的水流进行了模拟；苑希民[3]等建立了漫溃堤联算的全二维水动力模型对黄河宁蒙段河道以及两岸的灌区进行了漫溃堤洪水的模拟计算；付成威[4]等利用建立的水动力模型模拟了谷堆圩蓄滞洪区溃堤洪水的演进过程；张弛[5]等将建立的二维数值模型应用到甘肃舟曲的山洪灾害模拟中，并采用了基于 leap-frog 有限差分格式的网格流出修正法来保证计算的稳定；Norton、King及Orlob[6]采用有限元算法求解水深平均的二维水动力学模型；Dushmanta et al[7]采用有限差分法的二维模型模拟了湄公河的漫顶洪水演进情况；Liang[8]等采用动态链接库技术，建立二维模型模拟了黄河东明段溃堤水流的演进过程；槐文信[9]采用有限分析法的二维水动力学模型，对渭河下游河道及洪泛区洪水进行了数值仿真模拟；蔡新[9]与谢作涛[10]分别建立了基于元胞自动机的洪水演进模型以及荆江洞庭湖洪水演进数学模型对洪水的演进进行了模拟张大伟[11-13]等利用水动力学模型对溃堤洪水在二维平面区域内的运动情况进行模拟。

保护区的实际地形直接影响洪水的演进过程，区域内道路、灌渠渠堤等特殊边界对洪水具有阻水作用，排水沟等沟道也会改变洪水的走向。本文将特殊阻水边界概化为宽顶堰，将其与非结构网格进行耦联，在耦联处加密剖分网格并赋予实际高程，使特殊边界具有真实地形；采用自然邻点插值算法对二维平面区域的网格分区进行插值，建立具有洪水倒灌及排水作用的真实沟道地形。基于以上地形数据，以二维浅水方程作为控制方程建立模型，将其应用于黄河青铜峡河西灌区，对四排口险工处溃堤洪水在保护区内的演进过程进行模拟。

1 数值模型

1.1 二维模型基本理论

溃堤洪水运动模拟的模型是基于Navier-Stokes方程沿水深平均的平面二维浅水方程，其表达形式为

1.2.2 几何位置耦联

利用实测的地理参考点线性连接成折线，实现道路、渠堤等特殊边界在非结构网格中的准确定位。在实际的计算过程中，相邻网格内的地理参考点连线与网格截面相交，获得了由相交的网格截面线构成的折线，模型将该折线定义为实际参与数值计算的折线，由此达到非结构网格与特殊边界的耦联，见图1。

1.3 自然邻点插值算法

1.3.1 算法原理

自然邻点插值方法是一种基于空间自相关性的面积权重线性内插法[18-19]，该方法是在Delaunay triangles网格和Voronoi图的基础上进行插值。Delaunay triangles网格和Voronoi图是一种互偶图形，对Delaunay triangles三角形网格的每一边做垂直平分线，就能得到Voronoi图，如图3中所示实线图。Voronoi cells即剖分的网格单元。对于单元中的节点而言，自然邻点定义为与其具有共同Voronoi cells边界的节点。

采用自然邻点插值法对计算网格进行插值，通过分区使各区域插值不受其它区域的插值影响，分别赋予不同区域实际高程，使模型能够充分反映计算区域内排水沟的真实地形，从而更准确地模拟洪水在保护区内的演进情况和排水沟内洪水倒灌或退水情况。

1.3.2 算法验证

（1）计算条件。

为验证采用自然邻点插值法分区插值后还原得到地形的准确性，本文选取黄河青铜峡河西灌区内第三排水沟在灌区内4.95 km2的保护区为例进行验证。第三排水沟位于灌区北部，青石段实测大断面第42和43断面之间，沟宽52 m，长3 047 m，沟道纵深3.6 m。采用非结构三角形网格对二维计算区域进行剖分，网格边长设置为300 m，在第三排水沟处采用100 m边长的网格对其加密剖分，共剖分网格数量431个，利用自然邻点插值算法对保护区和排水沟分区进行插值。

（2）插值结果验证。

图5和图6分别是对插值结果验证得到的结果图。图5为采用自然邻点插值算法在不同条件下插值所得的结果，对分区插值的效果进行了验证。图5（1）利用了分区插值的方法对第三排水沟所在的区域进行插值，图中线条代表计算区域的等高线，可以在图中看到清晰完整的第三排水沟的轮廓，且从分布较密的等高线处可以观察到排水沟堤防边坡较为均匀的高程变化情况。而图5（2）未采用分区插值的方法，在插值过程中，保护区与排水沟的高程点相互影响，不能获得真实完整的排水沟地形，未能在图中显示出排水沟的轮廓。

图6是提取在不同条件下插值从模型中提取的沟底各点高程，图中显示采用分区插值的方法获得的沟底高程从高至低较为均匀的变化，最后趋于稳定，这与第三排水沟所在保护区的实际地形相符，沟底的高程并没有较大的起伏。未采用分区插值的方法获得的沟底高程，在模型中存在较大的起伏，这是由于未进行分区插值时保护区与排水沟的高程数据相互影响，沟道网格的高程部分区域被抬高，这与第三排水沟的实际地形并不相符。因此，通过以上验证可知分区插值可以还原模拟区域真实的地形，计算结果更具有真实性。

2 模型应用

2.1 模拟区域概况

黄河青铜峡河西灌区总面积4 283.8 km2，灌区从南至北，涉及青铜峡市、永宁县、银川市、贺兰县、平罗县和惠农区，一旦溃堤，将会造成严重的经济损失。石嘴山市平罗县的四排口险工段位于黄河转弯处，河道接近90°大弯，主流直冲左岸，直接威胁大堤，堤后大量耕地，下游为平罗县城，溃堤后会对下游造成较大的影响。本文选择四排口险工作为溃口位置，对灌区内平罗县、惠农区所在约322 km2的灌区作为计算区域进行溃堤洪水模拟。

2.2 模型计算条件确定

2.2.1 一维模型

一维河道总长度195 km，以青铜峡水文站和石嘴山水文站为上下控制边界，利用河道上45个实测大断面建立模型。选取2012年8月实测洪水过程，并根据叶盛水位站和石坝水位站的实测水位数据，进行参数率定和模型验证。率定结果显示，水位误差范围为0.004～0.196 m，一维模型准确合理。叶盛水位站与石坝水位站水位率定结果见图7和图8。

采用2012年洪水过程作为典型年洪水，按同倍比放大方法获得青铜峡站100年一遇洪水流量过程，作为一维模型上边界条件，下边界条件为石嘴山站水位-流量关系，计算时间步长为30 s，每1 h输出一次计算结果。

2.2.2 二维模型

采用非结构三角形网格对灌区内面积为322 km2的计算区域进行剖分，网格边长设置为300 m，对道路、渠堤等特殊边界以及计算区域内的排水沟采用100 m边长的网格加密剖分，剖分网格数量64 382个，计算节点32 627个。

二维模型溃口设置为水位边界，堤防溃决时刻为河道水位达到堤防设计水位时，水位降落至堤后地面高程时停止分洪。通过调查历史溃堤记录，结合河势、河宽及水头差等因素，确定溃口宽度为100 m。按照研究区域的土地利用情况进行糙率分区：村庄0.1；农田耕地0.04；湖泊等水域0.035。设置干湿边界条件：干水深0.005 m，湿水深0.09 m。模型计算时间步长为30 s。

2.3 特殊边界概化

通过实地测量，获得道路、渠堤等特殊边界的地理坐标与高程参数，将其线性连接，实现特殊边界在模型中的准确定位。利用非结构网格与特殊边界耦联的方式，概化出特殊边界在模型中的真实地形，并按照洪水在边界处漫顶与否，进行洪水计算。本次计算区域中具有阻水作用的特殊边界包括惠农渠、昌润渠、滂渠、京藏高速、G109和S301，根据过水桥涵的位置将道路分段，建立具有真实地形的模拟区域，模拟计算区域内的道路阻水及桥涵过水效果，达到模拟效果的真实性。

2.4 分区插值

计算区域内存在第三排水沟、第五排水沟，是青铜峡河西灌区内具有排水作用的两条沟道。在上游发生溃堤的情况下，当洪水从上游演进至排水沟时，部分洪水进入排水沟内沿沟道流动；与此同时，由于下游河道水位顶托，排水沟入河口处发生洪水倒灌，洪水沿沟道倒流入灌区内，并且漫溢对两岸造成淹没影响。

将保护区与排水沟分区剖分网格。根据设计资料，提取第三、第五排水沟各断面的地理坐标与沟底高程，并按照100 m的距离内插；保护区内各离散点的地理坐标与高程数据通过提取DEM获得。采用自然邻点插值法将提取到的数据分别赋予到保护区与排水沟的计算网格中，获得沟道的真实地形，模拟洪水在排水沟内退水及倒灌效果，达到模拟效果的真实性。

2.5 计算结果分析

图9为线状地物及桥涵影响下的流场分布图，洪水演进至S301时，水位未超过S301路面的高度，路面未过流，不存在动量交换，洪水沿着S301路基演进至昌润渠时刻，洪水因其水位超过昌润渠渠堤而漫过灌渠堤顶。由于昌润渠从S301路下穿过，道路上存在30 m的过水桥涵，从图中的流场分布中可以看出明显的过水效果。在洪水演进至昌润渠与S301交界处，由于受到路基与渠堤的阻水而出现雍水现象，道路上虽然存在过水桥涵，但过水能力有限，洪水不能完全通过，在渠堤与路基交界处雍水越多，水头越大，当水位超过渠堤高程时水流瞬间释放至堤后，因此存在较大的流速。

图10为第五排水沟上游沟道内排水的流场分布图，图11为第五排水沟下游入河口处发生洪水倒灌的流场分布图。第五排水沟沟底高程低于两岸保护区3～4 m，当洪水在保护区内演进至第五排水沟时，部分水流进入排水沟，并沿沟道一直向入河口方向演进，图13可以看出洪水沿沟道的演进效果。与此同时，由于上游100年一遇洪水致使黄河水位上涨，下游排水沟入河口处受黄河水位顶托，高水位的洪水沿排水沟向上游演进，发生洪水倒灌现象，图14可以看到明显的洪水倒灌效果。

选取S301省道，对加入特殊边界及未加入特殊边界两种情况下水位的过程进行对比来说明模型的精度。并以第五排水沟为例，利用两种不同的插值条件下水位过程对比的结果来说明模型还原地形的真实性。图12是S301路前某一地理参考点在整个模拟时段的水位过程，图中数据对比可知，由于S301省道的阻水作用，使路前存在积水现象，该点计算的水位值较未加入特殊边界的模型计算所得数值高，符合实际的情况。图13是第五排水沟内某一地理参考点在整个模拟时段的水深过程数据，在起算时刻沟内存在一定的水深值，计算的过程中由于上游洪水演进至沟内，以及下游沟道入河口处发生的洪水倒灌，使排水沟内水位上涨。由图中对比可知，在分区插值情况下，该点计算的水深值较未插值计算所得的水深值大，符合实际情况。

图14为青铜峡河西灌区四排口溃堤后，保护区不同时刻的淹没水深图。由图可以看出，四排口险工发生溃堤，导致洪水在灌区内向下游低洼地区演进，形成较大的淹没范围，下游入河口处洪水进入第三、第五排水沟内形成倒灌，并且漫溢对两岸村庄造成淹没。通过影响分析，洪水淹没面积为315.36 km2，最终积水量1.45亿m3，受灾人口5.32万人，其中农田淹没面积23 375.64 hm2，房屋淹没面积886.02万m2。通过模拟洪水的演进过程，可知尾闸镇、黄渠桥镇、渠口乡、庙台乡受灾严重，应作为防汛重点关注区域，该结果为防汛部门的应急管理措施提供了技术支撑。

3 结论

本文针对溃堤水流的特点，建立了二维水动力模型，对保护区内溃堤洪水的演进过程进行模拟。通过将道路、渠堤等线状地物概化为宽顶堰计算，赋予实际高程，并作为特殊边界与非结构网格耦联，使特殊边界具有真实的地形；此外，保护区内存在的排水沟具有排水作用，从而改变了洪水在排水沟处的流场分布，文中采用自然邻点插值计算方法对计算区域进行分区插值，将排水沟真实地反映在模型中。采用该模型对青铜峡河西灌区四排口险工溃堤洪水进行模拟，模型还原了区域的真实地形，对线状地物阻水、桥涵过水以及沟道排水和洪水倒灌具有良好的模拟效果。因此，模型可有效模拟溃堤洪水演进过程，具有较好的应用价值。

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数学建模插值法篇5

【关键词】数值分析；Lagrange插值法；牛顿插值法；三次样条插值法

Collaborative Problem Teaching Method in the Research of Numerical Analysis

--Interpolation for Example

MEI Fang WANG Qiao-ling ZENG Chun-hua

（College of Science， Jiangxi Agricultural University， Nanchang Jiangxi 330045， China）

【Abstract】This paper is intended collaborative problem teaching method in the application of Numerical analysis ，creating problems，solve the problems，put forward new problems，the improved algorithm，summarizes the solving process，further more in-depth questions.

【Key words】Numerical analysis；Lagrange interpolation；Newton interpolation；Cubic spline interpolation

问题驱动式教学法是基于问题的教学方法，一种建立在构建主义教学理论基础上的教学法，它要求“问题”的目标性和教学情景的创建，学生在老师的帮助下，紧紧围绕共同的任务，在强烈的真实问题动机的驱动下，通过对资源的积极主动应用，进行自主探索和互动协作的学习。

目前国内大学《数值分析》课程的教学改革起步晚，注重纯理论教学。教学过程中存在的不足：数学理论推导严密但是教学枯燥，学生学习缺乏兴趣。国外《数值分析》课程的改革走在前沿，美国工程院院士Cleve Moler在20世纪70年代提出在学习方式上，将教师引导与学生自主探究、合作交流有机结合起来。注意吸收计算数学中算法研究的最新理论研究成果，让学生在真实的问题驱动下，带着问题去学习领会蕴含其中的算法原理，并能运用所学理论分析利用数学软件解决现实生活中的科学问题。但对驱动问题的解决措施的探讨深入不够。

本文以数值分析课程的插值法为例，介绍问题驱动式教学法在整个章节课堂教学中的研究与应用。

1 创设问题情境，提出问题

函数是描述自然界客观规律的重要工具，实际应用中许多函数是通过实验或者观测得到的，其形式是一张函数表，作一条曲线，其类型（代数多项式函数，三角函数，指数函数……）是事先人为给定的，该曲线经过所有点（xi，yi），i=0，1，2，…，n，这就是所谓的插值问题。

据资料记载，某地某年间隔30天的日落时间如下：

根据上述资料，计算这一年中哪一天白天“最长”。

2 引导学生讨论交流，解决问题

让学生查找资料，分组讨论，了解插值法的产生背景，中外数学家在此问题上研究的进程，这种古老的分析问题数学方法应用在那些课题中？分析关于多项式插值的理论依据是什么？提出问题对于函数y=f（x）是否存在这样的多项式函数P（x）能精确的逼近它呢？经过数学的推导得到结论：满足给定区间[a，b]上n+1个点a≤x0

然后得到Lagrange插值法的计算公式：

■（1）

其中

■（2）

插值余项与误差估计：

■（3）

■（4）

其中■（5）

接下来，按上面的理论知识，求解提出的问题，建立一个简单的数学模型，用二次等距离插值法计算求解：

5月1日设为第0天，则x=0

再设每一天白天的长度（日出与日落的时数）为14小时13分+T分

故天数和它的长度可用（x，T）表示。有记载的三天数据对应于（0，0），（30，68），（60，81）

将它们带入Lagrange插值公式得白天的时长：T=■，

由微积分中的最值原理T'（x）=0，得到x≈52.09，

也就是最长的一天为5月1日以后的第52天，即6月22日，T=83分，这一天日出与日落之间的时数为14小时13分+83分=15小时36分。与每年的夏至节气日期相吻合。

然后拓展数值分析插值法数学实验，计算一年中的24节气所在的具体日期。

3 解决问题的基础上，进一步了解插值法在理论和实践上发展，应用的广泛性，提出新问题和知识延拓

Lagrange 插值公式结构紧凑，思路清晰，程序编制容易，但是增减节点时，计算要全部重新计算，很不方便，增加计算量，我们希望在增加新的节点时，原先计算的结果对后来的计算过程仍然有用，那如何改进？于是我们得到Newton插值多项式

■（6）

余项■（7）

其中ωn+1（x）由（5）式定义。

插值多项式要求插值节点相等，而实际问题中还经常要求节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，于是课题条件改变了，我们讨论新的解决问题的方法Hermite插值法。这类型的一般问题显然会具有些令人感兴趣的困难，在称为伯格霍夫插值的专题中奉献了大量的近期研究文献，学生可以查阅。

其它的插值法，早期的板材曲线切割时，常常把富有弹性的细长木条（样条）固定在样点上，比方说航空造船等工程设计的需要，要求样条曲线二阶导数连续，三次样条函数插值是被认为一种有效的数学工具，并且学生将看到，插值法的算法有很多种，针对问题选择方法十分关键，正确选择算法的前提是对方法的理解、分析、评价和鉴赏。

4 归纳解决问题中的知识点，强化系统认知能力，完善问题的结论，总结规律，提出更深一步的问题

插值法是一个古老而实用的方法，作为逼近函数的构造方法，是数值微积分，函数逼近，微分方程数值解的基础。因为高次插值的Runge现象，随着信息量的增加，实验的结果与直观的想象不吻合，它也是数值计算研究中值得高度重视的一类现象，也就是说Lagrange插值多项式的次数不可能无限制的增大，所以它没有实用性，采用分段低次插值，特别是三次样条插值，具有良好的收敛性与稳定性，理论上和应用上意义重要，在计算机图形学中有重要应用。

数值分析是研究用数学方法处理信息的学科，仅仅是实用信息量大，如果使用方法不当，也不能保证所得结果的正确性，在教学过程中提出一种知识建模化的问题驱动式教学方法，把学生在现实生活中感兴趣的相关问题，引入数值分析算法的教学之中，将问题驱动与数值分析的各种算法技术相结合，加深对《数值分析》这门课程的有关算法和结论的理解，激发学生积极思考和避免一些常犯易犯的错误，提出一种实用有效的问题驱动的教学内容结构设计，打破传统的教学模式，让数值分析的学习更高效。

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数学建模插值法篇6

关键词：三维动画 计算机图形图像 MAYA软件

随着三维动画广告和片头在电视屏幕上频频播映，计算机三维动画已经悄无声息地走进了人们的日常生活。计算机三维动画是采用计算机技术生成的一系列动态画面。人的视觉生理表明，眼睛具有视觉残留特性，即瞬间映现在视网膜上的画面不会立即消失。当屏幕以每秒25帧以上的速率播送计算机生成的序列画面时，一幅幅离散画面在人的头脑中串接成连续的动画。计算机三维动画既可以是它所描述角色的形象或位置的连续变化，也可以是画面中光照情况的连续变化或观察者视点位置和视线方向的连续变化。上述变化可以基于客观世界中的物理规律或人们日常生活中所熟知的行为方式，也可以源于艺术家的精巧构思和大胆创意。前者广泛应用于科学演示、工程仿真、教育训练、军事模拟以及虚拟现实中，后者广泛应用于广告设计、影视特技、电子游戏等。随着计算机动画技术的发展，目前采用计算机图形工作站和先进的动画软件所生成的三维动画可产生非常逼真的效果，达到以假乱真的地步。尚在设计的城市小区在计算机三维动画中可变成拔地而起的高楼，早已绝迹的古代恐龙可以在屏幕上成群奔逐，种种不可思议的奇迹可以凭借计算机三维动画技术而神奇地再现。

1 三维动画原理概述

用计算机产生表现真实对象和模拟对象随时间变化的行为和动作，称为计算机动画。计算机三维动画是计算机图形学的一个重要的分枝，其应用领域十分宽广，包括影视作品制作、科学研究、视觉模拟、电子游戏、工业设计、教学训练、军事仿真、过程控制、平面绘画、建筑设计等等。位移动画(又称插值动画)是一种简单实用的动画制作方法，来源于表现形象的夸张变形的传统动画手法。这种方法在物体表面的顶点上设置一个位移向量，通过位移向量改变顶点的位置形成动画，但保持了物体的材质和拓扑结构。最初开发的计算机动画系统都是基于程序语言的或只有有经验的计算机专家才能使用的交互式系统。计算机动画制作程序语言的开发和使用，使计算机动画系统更易为一般艺术工作者所接受，帮助他们创造出更多更动人的特殊动画效果。动画语言也经常与三维建模语言结合在一起，使得描述一个对象及其运动的过程可以同时完成。动画语言种类很多，主要可分为三类：线性表标记语言、扩展了动画描述功能的通用语言和图形语言。另一种实现动画语言的方法是在现有的通用程序设计语言中嵌入动画描述。

2 三维动画的实现

首先，要了解三维软件里的时间。帧是三维软件的一种普通的时间概念，在电脑动画中需要控制的往往是在某一点关键性的动画转换那一帧。这是一种最传统和普遍的方法，因而对于运动时间的概念非常重要。关键帧的概念来源于传统的卡通片制作。在早期Walt Disney的制作室中，熟练的动画师负责设计卡通片中的关键画面，即所谓的关键帧，然后由助理动画师设计中间帧。在三维计算机动画中，中间帧的生成由计算机来完成，插值代替了设计中间帧的动画师。所有影响画面图像的参数都可成为关键帧的参数，如位置、旋转角、纹理的参数等。关键帧技术是计算机动画中最基本并且运用最广泛的方法。另外一种动画设计方法是样条驱动动画，在这种方法中，用户采用交互方式指定物体运动的轨迹样条。几乎所有的动画软件都提供这两种基本的动画设计方法。在三维动画的制作中，根据策划，以及结合现有的素材资源进行动画的构思。

3 三维动画及与计算机理论的应用

角色动画中的角色可以是任何东西，从一个单个的几何体到一个复杂的，功能齐全的，具有骨骼和外形的虚拟人物。用动画软件把角色的各种不同的对象结合起来，一旦它们正确的结合成为角色，那么它们都将成组在一个单个的节点下，并且可以从某处开始将角色中所有对象的通道进行适当的动画。角色并不等同于成组的对象组，其一个非常重要的理由是：角色节点是组节点，不是几何节点或变形节点。正是因为角色是组，就可以将其它节点放置在该组中，或放置在其它节点的某个通道。这样，只有相对于角色动画的通