线上教学定义篇1

通过查阅相关资料与讨论，笔者认为，高中数学难点概念的成因主要有：（1）概念本身问题：部分概念抽象层级多，抽象思维和逻辑思维要求高，表征方法少，具体化、形象化困难，理解难度大；（2）教材编写中的问题：部分概念定义的文字表述过长、语言枯燥、符号抽象难懂，教材中对概念的形成提供的感性材料不够充分，巩固概念的配套练习不够恰当，教学课时安排过于紧张，学生缺乏深入理解所必须的时间；（3）教师教学中的问题：对所引入概念的必要性（背景）阐述不够重视；对概念本质属性的剖析不够到位，没有从文字叙述、图形、数学符号等多角度地揭示概念的内涵和外延；对概念辨析的教学环节重视不够，普遍存在以解题代替巩固练习的现象；（4）学生学习中的问题：不能理解部分概念学习的必要性，学习动力不足；上位概念理解不深、固定点知识薄弱；语言转换能力缺乏，难以用自己的语言表述概念；表征方法少，缺乏原型和样例支撑；不清楚相关概念的内在联系，无法形成恰当的概念网络结构，

有效提升学生学习力的基础之一就是让学生理解概念，而要让学生理解概念，教师首先自己要理解概念，为此，我校数学学科组开展了“高中数学难点概念解读”为主题的学科校本研修活动，提出概念的解读也要高立意的要求，体现在能宏观把握数学概念在中学阶段的地位与作用，明确这个数学概念的内涵――对象的“质”的特征，及其外延――对象的“量”的范围，挖掘依附于概念的数学思想方法，从前后知识联系的角度审视概念，在概念体系中认识概念等，只有这样，概念的教学才能循序渐进，具体教学才能抓住教学核心，摒弃细枝末节，即一节课中到底讲些什么，哪些重点讲，哪些不需讲，哪些本课之前讲，哪些后续讲等，提高概念的教学效率，

以下我们以“曲线与方程”的概念解读为例，谈谈如何对数学难点概念进行深入解读，

1.地位作用

“曲线与方程”是人教c版教材选修2一l中第二章“圆锥曲线与方程”第一节“曲线与方程”第一课时的内容，是在学生已学过必修2中的直线与方程、圆与方程内容的基础上，继续学习“圆锥曲线与方程”的起始课，具有承上启下的作用，由于解析几何的本质是用代数的方法来研究几何问题，即通过研究曲线的方程来研究曲线的性质，这就带来一个关键性的问题，为什么能通过研究方程来研究曲线？即怎样保证这种研究的可靠性，

“曲线的方程”与“方程的曲线”是解析几何的基本概念，解析几何的两个基本问题（建立曲线方程和利用方程研究曲线的性质），都是以这两个概念为基础的，该内容安排于直线与圆的方程之后，是让学生对曲线的方程的认识经历从“观念”到“概念”的螺旋上升过程，又使后续研究圆锥曲线等内容的理论基础，使得学生对曲线与方程的关系有一个更加系统、完整的认识，更为重要的是，人们可以借助曲线与方程之间互为表示的等价关系，通过方程来研究曲线，因此，“曲线的方程”与“方程的曲线”概念是解析几何的核心概念，

2.内容解析

“曲线的方程”与“方程的曲线”的定义：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线c（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线，

在平面直角坐标系建立以后，任何曲线都有惟一的方程，任何方程也都有惟一确定的曲线（或点集），曲线与方程之间的一一对应的关系，是通过曲线上的点所成的集合与方程所有解所构成的集合之间存在一一对应关系来建立的，定义中，条件（1）中“都”字阐明了曲线上每一点的坐标都满足方程，保证了曲线对于方程的纯粹性；同样地，（2）中“都”字阐明了符合条件的所有点都在曲线上，保证了曲线对于方程的完备性，纯粹性与完备性合起来，保证了曲线与方程的等价性，这是曲线的方程概念的本质属性，

从集合角度看，如果把直角坐标平面内曲线上的点所组成的集合记作A，方程F（x，y）=0的解所对应点的集合记作日，那么定义中（1）用集合关系表示就是A∈B，定义中（2）用集合关系表示就是B∈A，两者合起来即A=B，这是从集合角度对曲线与方程关系的解释，

“曲线的方程”与“方程的曲线”是同一事物的两种表现形式，只是定义的主体不同，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形，“曲线与方程”概念所界定的既不是具体直观的曲线，也不是具体实在的方程，而是它们之间相互的“隶属关系”，跨越几何和代数两界，认识这种隶属关系并能应用，是教学的着力点和落脚点，

“曲线与方程”一方面要从形到数，即绘出曲线，写出相应方程；另一方面要从数到形，即给出方程及其要求，画出相应曲线，揭示几何中的形与代数中的数相互统一的关系，体现解析几何的核心――数形结合的思想，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，是数学方法论上的一次飞跃，

3.学情分析

3.1知识与认知基础

就学生而言，在这节课之前，他们已经在必修课程《数学2》的直线与方程、圆与方程中，讨论了曲线与方程的关系，加上初中和高一学过的函数在内，学生已有了曲线与方程的初步观念（还不能说是“概念”），有了一定的感性认识，也有了处理相关问题的基本数学活动经验，这是学生学习曲线与方程的认知基础，是学生理解曲线与方程概念的最近发展区，

3.2可能的理解障碍

首先，学生在学习曲线与方程概念之前，对曲线与方程的关系更多是从整体、宏观角度认识的，一般情况下，会认为直线就是直线、圆就是圆，不会想到把它们看作满足某种条件的点的集合，方程就是方程，不会想到把它们看作满足某种条件的解的集合，而曲线与方程概念是通过“曲线上的点”和“方程的解（有序实数对）”之间一一对应关系来定义的，这种考察问题角度与思维方式的变化会导致学生理解上的思维障碍，因此，教学设计的着力点是借助实例，将学生对曲线与方程之间的“能相互替代”“等价”“不多不少”等观念进行精确描述，将已有观念明确化、概念化，

其次，在经历由直观表象上升到抽象概念的过程中，学生容易对定义中为什么要规定两个方面产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延，同时学生易将定义中的（1）（2）两点孤立开来，认为曲线上的点的坐标都是方程的解，那么曲线就是方程的曲线，以方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么方程就是曲线的方程，未能将两个方面统一起来，因此，教学要通过对正、反例的充分辨析，引导学生明确概念的内涵与外延，认识到曲线的方程与方程的曲线是同一事物的两种表现形式，

再次，之前学生求得的直线或圆往往是一条完整的直线或一个完整的圆，不需要去深究求得的方程是否会混入不在曲线上的点的问题，而进入到一般的曲线的研究过程，在给定曲线一部分确定其方程时，学生会受函数定义域与值域负迁移的影响，出现变量范围错误的现象，例如，对单位圆的上半圆（不含端点），其方程应为X2+y2=1（y>o），学生会写成X2+y2=1（-1

4.教学建议

4.1关注知识体系的螺旋上升

教师要从全套教材的结构来认识曲线与方程的地位，弄清知识的前后安排顺序，把握好要求，体现知识体系的螺旋上升过程，教学要循序渐进，水到渠成，在函数教学中，要让学生体会到直角坐标系中的点与其坐标的一一对应关系；在直线与方程、圆与方程的内容学习中，要明确提出曲线上的点与方程的解的对应关系，使学生能熟练地判断给定坐标的点是否在曲线上，熟悉曲线上点的坐标求法，为得出曲线的方程概念埋下伏笔；在圆锥曲线方程的内容学习中，引导学生进一步体会“曲线的方程”与“方程的曲线”的关系，强化概念的理解，

4.2重视概念的生成过程

从既要让学生理解“曲线与方程”的概念、又要让学生体会“为什么要引入这个概念”出发，以学生熟悉的“直线与方程”“圆与方程”为载体，在给出抽象概念之前，通过实例，让学生建立起“纯粹性”“完备性”的充分体验，体会到引入曲线与方程概念的必要性与合理性后，再给出严格的数学定义，并借助反例引导学生进行概念辨析，使学生从内心接受“曲线的方程”“方程的曲线”这样“颠来倒去”的数学定义，再通过给出曲线写方程、给出方程画出曲线的图象，以及证明“已知方程是给出曲线的方程”等问题的探究，让学生充分理解“曲线与方程”这一概念的内涵与外延，领悟定义中①②的缺一不可性，把握概念的深层结构，

4.3善于举例，使抽象概念具体化

由于“曲线与方程”的概念比较抽象，教学要通过简单、具体而又较为丰富的例子（直线、圆及其变式）完成概念同化，在概念应用中通过进一步的变式训练完成概念的顺应，从而建立起良好的认知结构，教学时，应该为学生提供各种感性材料，不断改变其表现形式，合理运用变式，使学生从不同的角度去认识概念的本质属性，其中，反例（非概念变式）的引入对于概念的正确理解、防止或纠正学生各种可能的错误观念具有重要作用，

4.4充分发挥现代教育技术的作用

线上教学定义篇2

【案例1】把12米的绳子平均分成5段，每段是几分之几米？每段是总长的几分之几？3米是这段绳子的几分之几？

在分数的意义练习中经常出现这样的错误：（1）学生搞不清两类问题（求某个数量和求两者之间的关系）的不同。如把问题1做成1÷5=米。（2）两个数量比较的时候找不准比较的量。如把问题3做成3÷5=，问题出在哪里呢？经过分析研究，其实问题的根源在于我们教学时没有讲清楚分数的本质意义。教材中的定义为：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。这样定义的好处是直观，明白易懂，强调了“平均分”，特别是对“几分之几”做了准确说明，对理解以后的分数运算也有重要的价值。但是用份数定义分数，也有一些问题。首先一份或几份的说法，没有超出自然数的范围，没有显示出这是一种新的数。其次，分数表示的是一个整体平均分之后，其中的一份或几份，选择的素材和呈现的情境局限在整体和部分单一的纬度上。另外从书本上的例题来看，分数意义的获得来源于分东西的活动，学生往往从切分的生活情景直接跳跃到纯粹的数学概念，没有经验支撑的抽象水平，学生个体接受数学概念的内在结构就会不稳定。那么分数的本质究竟是什么？有人认为其本质意义是它的无量纲性，其意义在于可以把事物许多不可比的状态变为可比的状态。但是我们不能忘了分数同时具有量纲性，即可以表示具体的数量。缺乏两者的比较，就会出现案例1中出现的问题。

分数的意义可以从自然数除法的推广中去理解。在低年级数学课上，6个月饼平均分成3份，得到有确定大小的两块。但对于这个月饼平均分成3份应该得到什么，依除法的意义，应该看作1÷3所得的商。可是这种除数大，被除数小的除法，如果运用以前的知识就成了解决不了的问题，于是“分数”这个新朋友就闪亮登场了，突出了数系扩张的本质。用分数的商的定义去解决案例1的问题，效果很好。如问题1可以这样解答：12÷5=（米），问题2可以这样解答：1÷5=，问题3可以这样解答：3÷12=。因此，分数的份数定义可作为教学起点，但是不宜过分强调，应该迅速向更熟悉的除法转移。

【案例2】在下面的直线上标出。

[0 1 2 3][]

很多学生将的点标在这条直线上的这个位置。很明显，学生把所对应的“单位1”的量弄错了，可能是学生在学习中感受到的整体的思维定势太强了，把近乎整条直线看作“单位1”。所以引导学生领悟“单位1”的含义至关重要。

首先，教学中要注重“单位1”的认识和扩展。在“单位1”的引入部分，由自然数1到“单位1”，对于学生来说，那需要一个过程。一支笔，一个人，可以用数字1来表示。很多支粉笔装成的一盒粉笔，很多个学生组成的一个班级也可以用1来表示。这里需要超越和突破。同样3个苹果能看作1吗？一旦把3个看作“单位1”，通常这时的6个苹果就不能再看作6了，该用哪个数字来表示呢？6个里面有2个这样的单位，只能是“2”了，9个苹果里有3个这样的单位，就是“3”。这个过程中3个苹果所构成的“1”其实已经成为一个计量单位，这样引出“单位1”的概念很自然。如果有一个苹果，应该怎样表示呢？这里可以发挥分数份数定义的作用，用来表示。这样就很好地沟通了分数与自然数之间的联系，并使学生在结构性框架中获得这样的认识：无论整数、分数其实都是以“单位1”作标准计量的结果；如果包含若干个单位“1”，则可以用整数来表示；如果不是整个单位“1”的，则可根据把单位“1”平均分的份数和表示的份数，用分数来表示。

其次，利用数线认识分数。是把一个“单位1”平均分成3份中的一份，但是这一份到底有多大呢？1除以3的商有多大？它一定比1小，却一定大于0。我们可以在数射线上的0和1之间的线段平均分成3份，距离0一份的位置的地方就是，就在0和1之间中间的一点，在0和之间再分一半的位置就是……这样一画，分数是新的数的特性就清楚地表现出来了，原来自然数离散地分布在数射线上，现在分数密密麻麻填写在数线上。在研究分数的本质意义时，张奠宙先生指出：“分数是相对于整体‘1’而言的。在数线上0和1之间，标出相等的若干等份，乃是认识分数关键的一步，及早进行，十分重要。”数线是一个半抽象模型，它是“圆模型”和其他平面模型的“再抽象”，可以充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的几何载体。这也是数轴的雏形，正确应用可为今后学习数轴打下基础。

线上教学定义篇3

【关键词】数学实验教学 观察 实验 动手实践 自主探索

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）01-0138-01

随着科学技术的发展，新的教学手段、教学理念、教 学模式不断出现，数学实验就是近年来数学教育新兴研究课题，作为数学猜想、探究、验证性思想方法，数学实验教学法越来越显示出它在素质教育与创新教育中的独特作用，越来越受到人们的重视。

一、数学实验教学的概念及特征

赵绪昌在《利用数学实验，加深对知识的理解》一文中定义数学实验为：为获得某种数学理论，探究或验证某个数学猜想，解决某类数学问题，运用一定的物质技术手段，经由数学思维活动的参与，在典型的环境中或特定的条件下进行的一种数学实践活动。

所谓数学实验教学，是指教师引导学生从生活经验和已有的知识背景出发，自行观察、实验，动手实践，通过自主探索和合作交流等方式学习、发现数学新知的教学活动。

与物理、化学、生物实验相比，数学实验不仅需要动手操作，更需要动脑思维。因此，思维性强是数学实验教学的基本特点。活跃的数学思维和信息传递成效反映了实验教学效果。另外，数学实验教学还具有活动性、操作性、开放性和时代性等特征。

二、数学实验教学的基本形式

1.常规性数学实验教学

常规性数学实验教学，即传统意义上的数学实验教学，是通过对一些工具、材料的动手操作，引导学生自主探索，发现并获得数学结论，验证数学结论，加深对数学知识的理解的教学活动。这种实验教学，常用于与几何图形相关的概念、定理的探究或验证，往往仅借一根铁丝、一张纸就可使抽象的数学概念和基本性质简单明了，大大提高了课堂效益。

实验设计案例1 探究线面垂直的定义。

实验目的：在实验操作过程中，体会直线和平面垂直的定义。

实验材料：单一光源电简、一根均匀直棒、一张白色厚纸。

实验过程：以同桌2人为一个小组，检验实验材料是否可用，取白色厚纸平铺于桌面，组内一名成员将均匀直棒直立于纸面之上，手扶顶端以保证稳定性，组内另一名成员高举单一光源电简于直棒斜上方，电筒围绕直棒在不同方向移动。在教师的引导下组织学生观察直棒与影子的关系。改变直棒与纸面的位置关系，观察直棒与影子的关系。

实验结果：学生通过动手操作，观察到当直棒直立于纸面之上时，尽管影子在移动，但是直棒所在直线与影子所在直线垂直；当直棒倾斜于桌面之上时，直棒所在直线与影子所在直线不垂直。由此引出线面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内任何一条直线都垂直，我们 就说这条直线与这个平面相互垂直，它们的交点叫垂足。

实验分析：通过小组合作，让学生在数学实验的操作中经历观察、分析，然后归纳出其中的规律“直棒所在直线与影子所在直线垂直”， 从而猜想出线面垂直的定义应该具有的形式。随着实验过程的展开，加深了学生对定义的认识。

2.现代数学实验教学

现代数学实验教学，是借助现代先进的信息技术开展数学实验教学。一般而言，主要是指借助计算机的快速运算功能和图形处理能力，再现问题情境，引导学生自主探索数学知识，检验数学结论的教学活动。这种数学实验教学常用于一些动态的数学问题的探究或验证。

实验设计案例2 验证初中数学学习的二次函数的图像抛物线，是否满足高中数学抛物线的新定义。

实验目的：加深对抛物线定义的理解。

实验用具：几何画板。

实验过程：（1）利用几何画板软件作出二次函数y=- x2的图像，变换为抛物线方程是x2=-4y，且它的焦点坐标是（0，-2），准线方程是y=1。

（2）提问：要检验是否符合新定义，需要验证什么？（抛物线上的任一点到焦点和准线的距离是否相等）

（3）学生回答后，在作出的抛物线上任取一点M，拖动点M在抛物线上移动，观察点M在移动过程中，到准线距离与到焦点距离的数据是否相等。

实验结果：点M在抛物线上移动过程中，观察变化的数据，发现两个距离始终相等，验证了二次函数图像抛物线完全满足抛物线的新定义。

实验延伸：实验验证完成后，教师如果作进一步分析、启发、引导，还可以得到已知焦点和准线方程，作抛物线的方法。使学生对抛物线定义的理解上升到一个新的水平，更显数学实验的价值。

计算机的动态变化功能，把数与形有机结合起来，将变化过程动态地展现给学生，让学生亲身体验数学知识的发生、发展过程。在实验中，每个学生都可以自由地、大胆地猜想和验证，享受数学发现的喜悦，感知数学思想形成的生动历程，实现了从“玩数学”到“做数学”，从被动学习到主动学习再到创造性学习的飞跃。

线上教学定义篇4

知识目标：1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3、强化数形结合的思想方法。

能力目标：在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；

情感目标：通过反例辨析和问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

【教学重点】“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念

【教学难点】怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程

【教学方法】问题引导式教学

【教学过程】

一、问题设计，探究课题

在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系.

教师提出问题1：“直线的方程”是什么？二元一次方程与直线的对应关系是什么？

生：直线的方程是关于x，y的二元一次方程。二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。

问题2：“圆的方程”是什么？此方程与圆的对应关系是什么？

生：圆的方程是：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）它是关于x，y的二元二次方程。此方程表示一个圆。

问题3：（1）画出方程x-y=0表示的直线，分析直线上的点的坐标与方程的解的关系。

（2）写出以（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程，分析圆上的点的坐标与方程的解的关系。

让学生深刻体会如下结论：

1、直线（或圆）上的点的坐标都是方程的解；

2、以这个方程的解为坐标的点都在直线（或圆）上。

即：直线（或圆）上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。

问题4：任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？

也即：方程f（x，y）=0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程f（x，y）=0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程f（x，y）=0？为什么要具备这些条件？

师：以上问题就是本节课的内容：曲线和方程（板书课题）。

学生讨论。

师：刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系：“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个。

问题是上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一事实？有何区别？为了弄清这些问题，我们来研究下列问题：

问题5：用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？

让学生回答问题，并加以纠正和总结

师：方程⑴、⑵、⑶都不是曲线C的方程。第⑴题中曲线C上的点不全是方程 的解；例如点A（-2，-2）、B（ ， ）等即不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论。第⑵题中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但是以方程x2-y2=0的解为坐标的点却不全在曲线上；例如D（2，-2）、E（ ， ）等不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论。第⑶题中既有以方程|x|-y=0的解为坐标的点，如G（-3，3）、H（ ， ）等都不在曲线上，又有曲线C上的点，如M（-3，-3）、N（-1，-1）等的坐标不是方程|x|-y=0的解。事实上，⑴、⑵、⑶中各方程所表示的曲线应该是如图所示的3种情况。

师：以上我们观察分析了问题3、5，发现“问题3”中的问题完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程；而“问题5”中的问题不能完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程。如果我们把完整地用方程表示曲线和用曲线表示方程看成“曲线的方程”和“方程的曲线”的话，那么就可以给“曲线的方程”和“方程的曲线”下定义了。

问题6：从充要条件的角度看，仅关系⑴或⑵是“曲线的方程”和“方程的曲线”的什么条件，怎样才能使得它们成为“曲线的方程”和“方程的曲线”的充要条件呢？

生：仅关系⑴或⑵是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，只有两者都满足了才是充要条件。

二、问题解决，巩固课题

问题7：下列各题中，如图所示的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系⑴还是关系⑵？

学生回答：⑴错。不符合定义中的关系⑵，即C F但F C。⑵错。不符合定义中的关系⑴，即F C但C F。⑶错。不符合定义中的关系⑴和⑵，即C F且F C。

问题8：（教师启发学生共同完成如下证明）证明与两条坐标轴的距离之积是常数k（k>0）的点的轨迹方程是xy=±k。

师：请同学思考，证明应从何着手？

生：应从以下两方面：（1）轨迹上的点的坐标都满足方程：xy=±k；（2）以方程xy=±k的解为坐标的点都在圆上。

师：（1）中的“点”和（2）中的“解”指的都是有关集合中的全体元素，怎样解决全体问题？

师：（学生思考片刻后）用“任意一个”代表“全体”是数学证明中常用的方法。（请同学们完成证明过程，同桌间交流，参照课本证明纠正错误，完善证题过程，加强证明题的严密性。）

三、小结

本节课我们通过实例的研究，掌握了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系⑴、⑵两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。

曲线和方程之间一一对应关系的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。

四、作业

1、教材37页，练习题1、2题。

线上教学定义篇5

注意到椭圆与双曲线在定义与标准方程的差别仅在“和”与“差”上，因此表现在性质的差异上可能就是矛盾的两个方面。抓住这一点，可以先研究椭圆的几何性质，然后再类比到双曲线上。为便于讨论，只以焦点在x轴上的圆锥曲线的标准方程进行讨论。

一、内外之分

1.设椭圆 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为椭圆上除顶点外的任一点，过椭圆的一个焦点作∠F1QF2的一个外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹是圆的一部分。

证明：如图1，QP为∠F1QF2的一个外角平分线，过F2作QP的垂线，垂足为P。延长F2P与F1Q的延长线交于点N，则QP为F2N的垂直平分线，|QF2|=|QN|，又|QF1|+|QF2|=2a，|F1N|=2a，又OP为F1F2N的中位线,所以OP∥F1N且OP=a，所以P在以O为圆心，半径为a的圆上。

上述性质类比到双曲线上，即可得到：

设双曲线 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过双曲线的一个焦点作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹是圆的一部分。

本题结论本身也许并不重要，但解题依据却是最基本的定义，题目条件中的外角平分线与内角平分线的差别恰好就是椭圆与双曲线在定义上区别的体现。

二、正余有别

1.设椭圆a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上

除顶点外的任一点，∠F1QF2=θ，则三角形F1QF2的面积 证明：如图2，由椭圆定义得：|QF1|+|QF2|=2a （1）QF1F2中，由余弦定理可得：|QF1|2+|QF2|2-2|QF1|・|QF2|

cosθ=4c2 （2）

（1）式平方-（2）式得2|QF1|・|QF2|（1+cosθ）=4a2-4c2，

上述性质类比到双曲线上，即可得到：

设双曲线 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，∠F1QF2=θ，则三角形F1QF2的面积

本题结论中，两个面积公式的不同之处仅在正切与余切的区别上，这种形式的类似既是曲线性质规律性的反映，也是运用类比方法的典型案例。

三、对立统一

1.直线y=kx+b与椭圆（a，b＞0）交于A，B两点（图3），设AB中点为M，O为坐标原点，则有

（其中e为离心率）。

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0），则有：

整理得， ，所以有上述性质类比到双曲线上，即可得到：直线y=kx+b与双曲线

交于A，B两点，设AB中点为M，O为坐标原点，则有（其中e为离心率）。

本题结论中，椭圆与双曲线性质的区别仅在于符号的正、负，但又都能表示为e2-1，可以说是既对立又统一。

线上教学定义篇6

一、教思考，重在培养学生的思辨能力

教思考，主要指教会学生思考数学中的公理、定理和性质等的来龙去脉，思考数学公式的推导方法，思考具体数学问题的求解方法。

教思考，重在培养学生的思辨能力。在高中数学教学中，教会学生“思考什么”“如何思考”是教学的关键。如在教学“抛物线的定义”时，教思考的问题就是：“为什么要寻找平面内到定点的距离等于到定直线（定点不在定直线上）的点？而不是去寻找平面上的定点与定直线的其他位置关系的点？定点在定直线上的动点的轨迹又是什么呢？”

[教学案例1]抛物线的定义

师：居民区内有一口井.其左侧有一条从东到西的河流。若我们就生活在这片居民区内，请问我们是到井里取水方便。还是到河里取水方便？

生：找到离井与离河岸一样远的那条分界线.分界线外的居民到河里取水方便.分界线内的居民到井里取水方便.分界线上的居民在井里取水与到河里取水一样方便。

师：你能否画出这条分界线？

师：（生在大屏幕上用电子笔画出了这条曲线。）如果我们把井看成一个点.把河流看成一条直线，则刚才的问题变为：“寻找到一个定点与到一条直线的距离相等的动点的轨迹”。那么。大家能否给抛物线下个定义？

生：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

师：很好，但不完整。应如何补充？

生：其中定点不在定直线上。

师：非常好。抛物线的定义是……

“抛物线的定义”教学活动是教思考的典型案例。在这个案例中，通过思考“居民是到井里取水，还是到河里取水”，理解为什么要让学生思考上面提出的问题，进而理解“抛物线”的涵义。

二、教体验，重在积淀学生的核心素养

教体验，即教学生进行学习体验，体验教学活动的过程，在“做中学”活动中获得体验。

学习体验包含知识学习的体验、技能训练的体验和思想方法的体验等。在教学中，知识学习体验的关键，是注重学生对数学知识的学习参与过程；技能训练体验的关键，是注重学生对训练技能、训练技巧等方面的体验与反思；思想方法体验的关键，是注重对学生进行属性结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等方面的渗透，培养学生的数学方法。

在教学“随机事件的概率”时，学生对“用频率估计概率”这一问题的理解有困难，对频率与概率理解不透，故教学时教师就注重教学生进行体验。

[教学案例2]用频率来估计概率

师：对于给定的随机事件，可否用事件A发生的频率fn（A）来估计事件A发生的概率P（A）？

生：可以（但说不出理由）。

师：请各位同学拿出一枚硬币，在适当高度抛掷一枚硬币10次，记录下正面向上的次数，并计算正面向上的频率。

（大多数学生的频率为0.3、0.4、0.5、0.6、0.7之一，还有2位学生的频率为0，有1位学生的频率为1。）

师：大家以适当高度抛掷一枚硬币50次呢？

师：请每个小组的5位同学将记录的正面向上的次数相加，并计算出正面向上的频率。

（第一组至第十组的频率分别为：0.492、0.520、0.488、0.540、0.476，0.504、0.568、0.448、0.508、0.484。）

师：请班长统计全班10个小组正面向上的次数和，并计算正面向上的频率。

班长：0.5028。

师：大家从这些数据中发现这个频率有何特征？

生：……

“用频率来估计概率”的教学活动是教体验的典型案例，通过教学生学习体验抛掷硬币的教学活动，计算抛掷硬币正面向上的频率，让学生真正理解“用频率估计概率”的合理性和有效性。

三、教表达，重在训练学生的交际能力

教表达，即教学中重视学生的表达、倾听和交际等方面的能力培养。教表达，其核心是培养学生的表达力，而表达力又分为口头表达能力和书面表达能力。口头表达能力是一个人综合素质的外在体现，是教师教学效果的最直接体现。这需要让学生参与到教学中，给予学生充分的口头表达机会，反对教师一言堂；书面表达是教学效果的间接体现，能客观地将课堂教学中学生存在的问题表达出来。

在教学“函数的单调性”时，学生对“形成增（减）函数的概念”理解有困难，故教学时应注重教学生的表达。

[教学案例3]形成增（减）函数的概念

师：如何描述函数f（x）=x2的图像在y轴右侧是上升的？

生：当x∈（0，+∞）时，y随x的增大而增大。

师：观察如下表格，如何描述表格中数据的变化规律？

生：因为1

师：如何用数学语言描述y轴右侧x与y的变化规律？

生：取两个数x1，X2，当X1

师：请看反例：2

生：X1、X2∈（0，+∞），当X1

师：很好，如何描述增函数的概念？

生：一般地，对于函数f（x）的定义域为L，如果对于定义域L内的某个区间D上的任意两个自变量的值X1、X2，当X1

师：很好.大家同理描述减函数的概念吧……

“形成增（减）函数的概念”教学活动是教表达的典型案例，它让学生学会表达，将自己的想法准确表达出来，真正掌握“增（减）函数的概念”对区间D上任意的两个自变量都成立。

线上教学定义篇7

1.教材的地位c作用

众所周知，解析几何是一门通过建立直角坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支。具体的做法是建立直角坐标系，使平面上的点与一个有序实数对一一对应，从而体现了形与数的统一与转化，其内容有着丰富的辩证关系。

解析几何主要解决两类基本问题：（1）已知曲线求方程；（2）已知方程求曲线性质。椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，高中解析几何主要研究它们的性质与应用，是学生掌握解析几何的关键，是领会解析法构思的途径。本节内容是在学习了曲线与方程，以及椭圆、双曲线的定义，标准方程，几何性质的基础上进行学习的，所以可通过类比的方法得到抛物线的定义、标准方程以及下节课内容抛物线的简单几何性质。

2.教学重点与难点

重点：（1）掌握抛物线的定义及标准方程；（2）能根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程，并画出其图形；根据抛物线的焦点坐标或准线方程，求出抛物线的标准方程。

难点：（1）抛物线定义的形成过程，用坐标法求出抛物线的标准方程；（2）引导学生正确进行数学图形语言、文字语言、符号语言的相互转化。

二、目标分析

解析几何的基本方法是坐标法，在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线。本章我们将继续采用必修课程《数学2》中研究直线与圆所用的坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，

建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。

本节课的内容是抛物线及其标准方程，通过45分钟，学生需要掌握的内容有：（1）了解抛物线的定义，在根据图形得出抛物线定义的过程中培养学生的观察能力、理解能力，继续渗透数形结合的思想。（2）掌握抛物线四种形式的标准方程，在得到抛物线四种形式的标准方程的过程中培养学生的分析能力、探索能力、合

作交流的能力和团队精神，激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯，同时通过一些实例加强学生对抛物线的认识，使学生感受到美的享受，陶冶情操。

三、教法分析

本节课我以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法。

1.通过实例和设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望。

2.提供观察的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维。

3.通过探索、交流，使学生在开放的活动中获取知识。

四、过程分析

数学教学是数学活动的整合。因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节：

（1）创设情境，引入课题；（2）研究图形，形成概念；（3）根据概念，得到方程；

（4）变式演练，深入探究；（5）运用新知，解决问题；（6）归纳总结，巩固提高。

1.创设情境，引入课题

课堂教学的开始，我会问学生几个熟悉的问题：在现实中，我们都有观看篮球比赛的经历，那么篮球划过的轨迹是什么？逢年过节我们都会放烟花，那么烟花绽放的痕迹是什么？我把手里的粉笔抛进垃圾桶，粉笔划过的痕迹是什么？而在数学中我们学过二次函数，请问二次函数的图象是什么？所有的答案都是抛物线，我以实例激发学生学习的兴趣，明确今天的课程主题，引领学生进入学习情境。

由上面的问题我们可以发现，无论在日常生活中，还是在数学中，我们都能见到抛物线的影子，那么究竟什么是抛物线呢？这就是我们今天要学习的内容。（书写课题）根据书中描述的抛物线的产生过程在黑板上画出抛物线，边画边口述画法，通过在定直线上取不同的点，产生几个抛物线上的点，最后把那几个点用平滑的曲线连接起来便得到了抛物线。

2.研究图形，形成概念

虽然抛物线已经呈现在大家的面前，那么，究竟抛物线的定义是什么呢？

【设问意图】本章的主要学法就是类比，通过这个问题，学生会很自然想到椭圆、双曲线的定义，想要去找寻同椭圆、双曲线相似的在抛物线产生过程中始终不变的一个几何关系。

通过观察抛物线的图形，逐步引导，让学生发现抛物线上的点是随着定直线上任意点的运动而运动的，而在运动过程中，一个始终不变的几何关系是：到定点的距离等于到定直线的距离。从而确定抛物线的大致定义：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

请大家想一想，定义中有一个定点、一条定直线，是不是无论这两者是任何位置关系，只要满足定义中的条件，就一定可以形成抛物线呢？

【设问意图】从内容的完整度和准确度出发，让学生通过分析点与直线的两种位置关系，得出只有定点不在定直线上时才会形成抛物线，否则是一条直线。

从而得到抛物线的完整定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

由前面的画图过程和与椭圆、双曲线定义的类比进行新概念的讲解，使得知识的衔接较为顺畅，概念的形成水到渠成。

3.根据概念，得到方程

由抛物线的定义，我们可以得到一个几何关系式MF=d（其中d是抛物线上的点到准线的距离），那么，如何建系才能使抛物线的方程更简单呢？

【设问意图】此问题会让学生自然想到椭圆、双曲线的建系方式，激发学生灵感，让学生主动思考交流。

学生可能会想到三种建系方式，无论哪种建系方式都设焦准距为P，按照三种建系方式，通过将几何关系代数化、化简，可以得到三个不同的方程，通过对比，可以发现y2=2px是最简单的，从而得到了抛物线的标准方程。

4.变式演练，深入探究

我们知道，在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程，那么，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？

【设问意图】学生会自然想到椭圆、双曲线的两个标准方程是通过变换x轴，y轴得到的，所以学生会通过变换坐标轴的方式去获得抛物线的其他标准方程。

分别将抛物线的焦点放在x轴的负半轴，y轴的正、负半轴可以得到其他三种形式的标准方程。完成表格：

抛物线有四种形式的标准方程，那么，如何根据标准方程，快速得到抛物线的焦点在哪里呢？

【设问意图】通过观察标准方程得到一个一般性的结论，对于学生来说更实用。

结论：x，y中谁是一次项焦点就在哪个轴上，一次项系数的正负决定了焦点在正半轴还是负半轴。

5.运用新知，解决问题

为了及时巩固知识，反馈教学信息，就必须有练习这个环节。所以我安排了以下的练习：

（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。

6.归纳总结，巩固提高

为使学生对所学的知识有一个完整而深刻的印象，我请学生从以下两方面自己小结。

（1）抛物线的定义和标准方程是什么？

（2）如何根据给定的抛物线的标准方程得出其焦点坐标和准线方程？

（学生回答）

【设计意图】有利于学生养成及时总结的好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也培养了学生数学交流和表达的

能力。

五、评价分析

对于本节课，我的设计思路是：从学生熟悉的案例及数学中的二次函数出发引出抛物线，始终以学生为主体，以问题为载体，得到抛物线的定义及标准方程。教授过程以合作交流为手段；以能力提高为目的。整堂课我较重视概念的提取过程和知识的形成过程，学生通过自主探究、合作交流，体会冥思苦想后的豁然开朗、合作学习的默契和谐，通过本堂课的学习，让学生进一步体会数形结合的思想，感受几何坐标的美。

参考文献：

[1]邬建云.抛物线及其标准方程的教学设计[J].数学教学通讯，2007（7）.

线上教学定义篇8

“算两次”的解题形式，单教授将其比喻成“三步舞曲”，即从两个方面考虑一个适当量，“一方面……，另一方面……，综合起来可得……”。如果两个方面都是精确的结果，综合起来得到一个等式；如果至少有一个方面采用了估计，那么综合起来得到一个不等式。“算两次”不仅体现了从两个方面去计算的解题方法，还蕴涵着换一个角度看问题的转换思想。向学生介绍“算两次”的解题应用，能有效地培养学生思维的发散性，使学生体会到数学知识的内在联系及统一性。它应当成为学生进行再发现、再创造活动的探索方式。本文介绍算两次原理在高中数学解题中的应用情况，以期引起大家的重视。

一、算两次与解析几何

例1 椭圆以正方形ABCD的对角顶点A、C为焦点，且经过各边的中点，求椭圆的离心率。

评注 如何建立关于a、c的关系式从而求出e呢？在这里线段AM具有双重身份，可有两种表达形式，正是表达的多样性使得“算两次”有了用武之地。在很多与图形有关的题目中只要细心寻找诸如AM这样的量，“算两次”就有了一展身手的机会。

二、算两次与向量

评注 本题解决的关键是从两个角度来考虑向量AP。一个角度顺其自然（题目已知），一个角度曲径通幽（隐藏的结论）。教学过程中教师有必要总结提炼出这里的数学方法――算两次，使学生对问题的解决能力得到进一步提升。

三、算两次与导数

评注 题中分别利用导数的几何意义和斜率的坐标公式得到切线的斜率k的两种算法，建立方程使问题得以解决。数学中一些公式、定义有多种表达形式，正是这些公式、定义表达的多样性，使得公式、定义的应用具有很强的灵活性。而“算两次”正是灵活运用、理解公式和定义的一种重要手法。

小议曲线的切线方程 费小林 03，

曲线的切线方程是高考必考的一个重要的知识点。但是，我在教学过程中发现学生求曲线的切线方程时，对曲线的切线的概念理解不透彻，产生漏解和错解的现象。我们在初中平面几何中学过圆的切线，它的定义是：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。此时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。圆是一种特殊的曲线。它的切线的定义并不适用于一般的曲线。而曲线的切线是通过逼近的方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线。它适用于各种曲线。这种定义才真正反映了切线的直观本质。一般曲线的切线不象圆的切线，它可以与曲线有两个公共点。而圆的切线与圆只有唯一的公共点。如果对曲线的定义理解不够准确，解题时容易产生错解和漏解的现象。为此我根据自己的教学心得谈谈曲线切线方程的求法。

一、求曲线上某点处的切线方程

例1 曲线y=2x2+1在点P（-1，3）处的切线方程是

点评 求曲线上某一点处的切线方程时，先根据导数的几何意义求出切线斜率，再用点斜式写出直线方程即可。

二、求过曲线上某一点的切线方程

例2 求过点（1，-1）的曲线y=x3-2x的切线方程。

三、求过曲线外的一点的曲线的切线方程

例3 求过点P（3，5），且与曲线y=x2相切的直线方程。

四、算两次与证明定理

例4 在ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C所对的边，证明：csinB=bsinC。

简证 过点A作ADBC，垂足为D，向量AB、AC在向量AD上的正射影数量，无论∠C是锐角、钝角还是直角，得到的两个数量都是相等的。

评注 对于一些等量关系不太明显的定理证明，“算两次”思想帮助我们找到了隐藏的等量关系，巧妙地、无中生有地建立了等式。算两次可用来证明高中数学中的一些定理如正弦定理、余弦定理、两角和与差的正、余弦公式等。

五、算两次与数列